新高考数学二轮复习提分练习13 导数解答题之双变量问题（2份，原卷版+解析版）

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1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数，约为.
(1)求函数的极小值；
(2)若实数满足且，证明：.
例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当，求函数的最大值；
(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.
例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，．
例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，且，证明：．
例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)证明：．
例6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知直线l与曲线相切于点．证明：
(1)l与曲线恰存在两个公共点 ；
(2) ．
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若为方程的两个不相等的实根，证明：
（i）；
（ii）.
例8．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)已知是的极大值点，若，且.证明：.
例9．（2023·江苏无锡·高三统考期末）已知函数．
(1)若有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：．
【过关测试】
1．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知函数．
(1)若，记的最小值为m，求证：．
(2)方程有两个不同的实根，且，求证：．
2．（2023·浙江·高三期末）已知函数．
(1)证明：函数在区间上有2个零点；
(2)若函数有两个极值点：，且．求证：（其中为自然对数的底数）.
3．（2023·河南三门峡·高三统考期末）已知函数与函数有相同的极值点与极值.
(1)求a，b；
(2)若方程与分别有两个解p，q（）和r，s（）.
①分别用p，q表示出r，s；
②求证：.
4．（2023·河北石家庄·高三统考期末）已知函数.
(1)设，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若存在正实数，满足，证明：.
5．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若，证明:函数有两个零点，且.
6．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数有两个零点，，则．
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数，为函数的导函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，若，，且，证明：.
8．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是的两个不同零点，证明：.
9．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知函数．
(1)若实数，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，若且，使得，证明：．
10．（2023·江西·高三校联考期末）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围：
(2)若的两个零点分别为，证明：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的单调区间；
(2)当时，证明．
12．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．
13．（2023·全国·高三专题练习）设，.
(1)设，讨论函数的单调性；
(2)若函数在有两个零点，，证明：.
14．（2023·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
16．（2023·江苏·高三统考期末）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：对定义域内任意，都有；
(2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
19．（2023·四川·校联考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：.
20．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时， 若， 求证：.
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)记的零点为（），的极值点为，证明：.
22．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数，为常数，
(1)若函数在原点的切线与函数的图象也相切，求b；
(2)当时，，使成立，求M的最大值；
(3)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，且，证明：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若单调递增，求a的取值范围；
(2)若有两个极值点，其中，求证：．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同零点，求证：.
26．（2023·四川·校联考模拟预测）设m为实数，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根，，证明：．
27．（2023·全国·高三专题练习）设函数（​为常数）.
(1)讨论​的单调性；
(2)若函数​有两个不相同的零点​， 证明:​.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点，.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证：.
29．（2023·山西·高三校联考期末）已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.