新高考数学二轮复习提分练习09 导数解答题之恒成立与能成立问题（2份，原卷版+解析版）

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1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，,
所以.
所以,，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题易得，由，得:
，
令， 则，所以在上单调递增，
式等价于，即．
所以，，
令，则有，
令，即，解得，
当时， ；当时， ；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以；
所以只需，即．
综上，实数m的取值范围是．
例2．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若，求f(x)在（，0）上的极值；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围
【解析】（1）若x，则，令，，
则，令
则
,
所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减，
又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减．
又，所以f(x)的极大值是
（2）由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减，
易知为偶函数．
所以f'(x)在上单调递增，又
当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意;
当，即时，，又，
存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减，
在单调递增，故，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）已知函数.
(1)若的导函数为，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为,，所以.
当时，，所以在上为减函数，
当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数.
（2）恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，在上单调递增，
因为，所以不满足条件.
当时，恒成立，满足条件.
当时，令，存在，使得，
因为在上单调递增，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得.
综上，实数的取值范围为.
例4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正整数，，.
(1)求的最大值；
(2)若恒成立，求正整数的取值的集合.
（参考数据：）
【解析】（1）
令可得：；令可得：.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故的最大值为.
（2）因为恒成立，所以，
即恒成立，所以.
，
当或时，因为，所以，所以在上单调递增.
因为，此时满足，
故或满足条件.
当时，令可得；令时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，所以，
所以，令，
令，
，因为在上单调递增，
，，
所以在上存在唯一的零点.
令可得：；令可得：.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
所以，
又，，
所以，即.
因为，所以.
综上，正整数的取值的集合为
例5．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得函数的定义域为，
，
①当时，时，，在单调递增，
时，，在单调递减；
②当时，恒成立，在上单调递增；
③当时，时，，在单调递增，
时，，在单调递减；
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）当时， ，
∴，∴单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
设，，则在上单调递减，
所以，即，
若关于x的不等式有解，则，又t为整数，所以，
所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数设.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:;对,使得总成立.
【解析】（1）解:由题可知
因为在上单调递增,
所以在上恒成立,
因为时,,
故只要在上恒成立,
令,,
因为,,
令,
即,
解得,
故在上单增,
在上单减,
所以,
即实数的取值范围为;
（2）由题意, 因为,
所以只要找出,使得时,;
时,即可,
当时,显然成立;
现证,满足题意,
即证当时,若时,成立,
若时,也成立,
当时,
若,则,
所以,
因为,故,
即恒成立,
所以在上单增,
故,
即时,成立;
当时,
若,,
由(1)知当时,
在上单调递增,
因为等价于,
即等价于,
所以在上单调递增,
故当时,,
因为当时,
,且,
因为等价于,
所以,
即当时,也有．
综上,,对,,使得总成立．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
（2）当时，
由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
从而函数在区间上的最小值为．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，则，
由，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以．
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)对，，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
当，即时，，单调递增，
等号仅在时取得，
综上，的单调递增区间是.
（2），即，
设，
则问题等价于，，
由（1）可知，当时，，故在递增，
∴，
，，
∵时，，，
故当时，，在递增，，
故，即，
即实数的取值范围是；
【过关测试】
1．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数.
(1)若在处的切线与轴垂直，求的极值；
(2)若有两个不同的极值点，且恒成立，求的取值范围.
【解析】（1），的定义域为，
，
若在处的切线与轴垂直，
则，
所以，，
所以在区间递增；
在区间递减.
所以的极大值为，
极小值为.
（2）若有两个不同的极值点，
则有两个不同的正根，
即有两个不同的正根，
所以，解得.
，
，
依题意，恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，
所以，
解得.
故的取值范围为
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：存在，使得恒成立，且方程有唯一的实根．
【解析】（1）由题意，的定义域为，
，
设，则，
令，得，令，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，解得，
令，
则，，
所以存在，使得，
令，其中，
由，可得函数在上为增函数，
所以，即，
当时，有，，
再由（1）可知，在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，所以，
当时，，所以在上为增函数，所以，
又当时，，
故当时，恒成立.
综上所述：存在，使得恒成立，且方程有唯一的实根．
3．（2023秋·湖北·高三统考期末）设函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)对，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
设，，即，
所以，
所以在上单调递增，
所以，，
即，.
（2）由，
即，
即，对于恒成立，
设，，
当时，，
由（1）知时，，所以，
当时，.
当时，，时，，不符合题意.
当时，，
即，
设，
则，
当时，，即在单调递增，
又，，
所以存在使得，当时，，
所以在单调递减，此时，不合题意
综上所述，a的取值范围为.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的最值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，有最小值为，无最大值.
（2）由的定义域可得，
即，
等价于恒成立，
令，所以，
令，
所以在恒成立，
所以单调递增，
，
所以存在唯一，使得，即，
所以当时，，即，单调递减，
时，，即，单调递增，
所以
由得，也即，
即，由(1)知在单调递增，
所以，，
所以，
所以.
5．（2023·浙江·统考一模）设函数,．
(1)当时,证明:;
(2)若,求a的取值范围．
【解析】（1）解:由题知,
故,
记,所以,
所以时,,单调递增,
上,,单调递减,所以,即,
故,得证;
（2）由题,不妨记,
因为,故;
当时,,
令,取,
因为,所以
故,,
故有小于零的函数值,
因为,所以存在使得,故不符合题意舍,
下证符合题意:
①若,;
②若,令,所以,
当时,,所以单调递增,
当时,,所以单调递减,
故,即,
将替换代入上不等式可有:,
当时,
,
记,
,故单调递增,
则时,,又有,
故成立,
当时,因为,
所以,
记,所以,
所以在单调递增,则,
因为,,所以,故,
即,
综上所述:.
6．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)已知，证明：；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因，
则，
令，得，
又时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增；
即函数在处取最小值，即
所以的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知，当且仅当时等号成立，
则时，即
所以
所以不等式成立.
（3）由题可知，恒成立
等价于不等式恒成立，
令，则命题等价于，
由（1）知，，即有，当且仅当时等号成立，
所以
当，即时能取等号，所以，即
的取值范围为．
7．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知，，，为的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），则，
当时，方程的根为，
当，即时，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即，当和时，，
单调递增，当时，，单调递减，
当，即时，恒成立，函数在上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）存在实数使得对任意恒成立，即恒成立，
令，则，
因为，当时，恒成立；当时，，函数在上单调递增，且，，
所以，存在，使得，且在上单调递减，
在上单调递增，所以，
于是，原命题可转化为存在使得在上成立，
又因为，所以，
所以存在，使得成立，
令，，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以.
8．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在上的函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（2）因为，且当时，不等式恒成立，
当时，，恒成立，因此，
当时，，
令，原不等式等价于恒成立，
而，即函数在上单调递增，因此，
即，令，，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数的取值范围是.
9．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：对于任意，恒成立.（参考数据：）
【解析】（1）由题意可得定义域为R，.
当时，，则在R上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明:因为，且，所以，故，
则要证对于任意恒成立，
即证对于任意恒成立，
即证对于任意恒成立，
即证对一切恒成立.
设，则.
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
故在处取得极大值，也是最大值，
故.
因为，所以，即，所以，
则.故对一切恒成立，
即对一切恒成立.
10．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数，其中是非零实数.
(1)讨论函数在定义域上的单调性;
(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，的定义域为，当时，的定义域为.
①当时，，在上单调递增；
②当时，，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.
（2）令.由题恒成立.
①当时，.
因为，故不合题意.
②当时，则不等式恒成立的必要条件为：.
令，
则，故在上单调递增.
注意到，故由可知.
下证充分性：
当时，令，则.
故在上单调递增.
所以.
令，
则，
令
则.
故在单调递减.
因为，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以，即
综上所述：.
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数.（注：…是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.
【解析】（1）（1）当时，，
故，
故在点处的切线方程为；
（2）由题意知有且只有一个根且有正有负，
构建，则.
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，在上恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则，即.
因为，所以当时，，
当时，，
令，则，故，
故在上为增函数.
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点，
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：.
（3）由题意知，对于任意的，使得恒成立，
则当取最大值时，取到最小值.
当时，因为，故当时，的最小值为；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，
因为，所以，
代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为.
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底，.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由.
【解析】（1）证明：令，其中，则，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
故对任意的，.
（2）令，其中，
若存在实数，使得恒成立，则，其中，
令，令.
令.
①当时，由（1）可知，且不恒为零，、
此时，函数在上为增函数，
因为，所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，合乎题意；
②当时，，当时，，
当时，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，则函数在上单调递减，
则当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递减，
故当时，，不合乎题意；
③当时，若，则存在，使得，
且当时，；
若时，可取，当时，.
因此，当时，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故当时，，不合乎题意.
综上所述，存在，使得恒成立，
故实数的取值集合为.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知当，总有，当且仅当时，“=”成立．设．
(1)当时，总有，求实数m的取值范围；
(2)当时，证明：存在，使得．
【解析】（1）令，其中，由题意可得，当时，总有，当且仅当时等号成立，则，要使在上恒成立，
即在上恒成立，
则，所以实数m的取值范围；
（2）令，其中，
，当且仅当时等号成立，则在时单调递减，
当时，即在上恒成立，即在上恒成立，
由于，则恒成立，
令，
其中，，当且仅当时等号成立，
则在上单调递减，
当时， ，即在上恒成立，即在上恒成立，
由于，则恒成立，
函数在上单调递增，
则存在，使得，由于，则存在，使得．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，．
(1)试讨论函数的极值；
(2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值．
【解析】（1）由题意得的定义域为，．
当时，在区间内恒成立，
在区间内单调递增，无极值．
当时，令，得；令，得．
在区间内单调递增，在区间内单调递减，
在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
（2）由知当时，的最大值为．
由题意得，且在区间内单调递增．
又，，根据零点存在定理可得，
存在，使得，
且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
．
，，两边取对数可得
，
．
令，则当时，，
即函数在区间内单调递减，故，
，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即．
又，故的最大值为0．
15．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值；
(2)若不等式有解，求的取值范围．
【解析】（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2，
即取得最大值为2，
由题可知的定义域为，
则，
即是关于的二次函数，
，当时，取得最大值为，
，
而，，
此时，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
的极小值为，无极大值．
（2），其中且，
在上，，则单调递减，
在上，，则单调递增，
，
关于的不等式有解，
，
，，
设，则，
在上，，则单调递增，
在上，，则单调递减，
，即在内恒成立，
要求，即，
则只需即可，即，等价于，
解得：且，
的取值范围是：且.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)曲线上是否存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）定义域为，
则，
当，即时，，
此时在上单调递增，
当时，此时，令得：，
令时，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，此时，令得：，
令时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，舍去，
此时，令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
（2），
在点处的切线斜率为，
因为、为函数曲线上的不同两点，故，
直线AB的斜率为，
令，
整理得：，
接下来证明，，恒成立，
不妨设，变形为，
即，令，则
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
则，故，，恒成立，
从而不存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.