微专题12 导数解答题之证明不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

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利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数，曲线在原点处的切线为x轴，
(1)求a的值；
(2)求方程的解；
(3)证明：
例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若为的导函数，设．证明：对任意，．
例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数.
(1)若，求证：当时，
(2)若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：．
例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时，
例9．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【过关测试】
1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数是的导函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有唯一零点.
①求实数的取值范围；
②当时，证明：.
2．（2024·江西上饶·一模）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根．
(1)求的取值范围：
(2)①证明：对任意的都有；
②求证：．
3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的反函数为，令
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)证明：.
5．（2024·广东广州·一模）已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.
6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数，当时，有极大值.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，证明：．
8．（2024·高三·浙江·开学考试）设.
(1)若，求；
(2)证明：；
(3)若，求实数的取值范围.
9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，证明：．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明.
11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在上的函数.
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数，的导函数为.
(1)当时，解不等式；
(2)判断的零点个数；
(3)证明：.
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
14．（2024·天津河东·一模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值；
(3)函数，证明：．
15．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
16．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当，时，求证：．
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)若，证明：．
18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是自然对数的底数，.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，证明：；
(3)证明：若，则.
19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：；
(3)若且，求证：．
21．（2024·江苏·模拟预测）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
22．（2024·广西南宁·一模）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)当时，证明：．