新高考数学二轮复习提分练习11 导数解答题之极最值问题（2份，原卷版+解析版）

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1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数（为非零常数），记，.
(1)当时，恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；
(3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围.
例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.
例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数.
(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．
例6．（2023·重庆·统考一模）已知函数，设为的导函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)当时，记的最小值为，求的最大值．
例7．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.
例8．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知．
(1)求证：恒成立；
(2)令，讨论在上的极值点个数．
【过关测试】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中a为大于0的常数，若．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在取得极小值，求的最小值．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求函数的所有零点；
(2)若，证明函数不存在极值．
3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数
(1)当时，求f（x）的单调递增区间：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
5．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)设函数，若有两个零点，，且为的唯一极值点，求证：．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，设，，函数有两个极值点．
①求m的取值范围；
②若，求的取值范围．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个极值
（i）求实数的取值范围；
（ii）求极大值的取值范围.
(2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数.
9．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.
10．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若为的导函数，在上有两个极值点，求的取值范围．
11．（2023·福建·统考一模）已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若有两个极值点，且，当时，证明：．
12．（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且当时，函数恰好有两个极值点，求实数的取值范围．
13．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在区间上有极值，求实数a的取值范围.
14．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.
15．（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是函数的极小值点，求a的取值范围．
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，分别是的零点和极值点，当时，证明：．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若是的一个极值点，求的极值；
(2)设的极大值为，且有零点，求证：．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若在处的切线与轴平行，求的值；
(2)有两个极值点，比较与的大小；
(3)若在上的最大值为，求的值．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.