新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第33讲 等高线问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，，若成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：不妨设，
，
，，
故，
令，，
，易知在上是增函数，且，
当时，，
当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，即的最小值为；
故选：．
例2．已知函数，若成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：不妨设，
，，
，，，
故，，
令，，
，易知在上是增函数，
且，
当时，，递增；
当时，，递减．
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，
即的最小值为．
故选：．
例3．已知函数，，若存在，，使得成立，则最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：函数的定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又（1），所以时，；时，，
同时，若存在，，使得成立，
则且，
所以，即，又，所以，
故，令，，
则，
令，解得，令，解得：，
在单调递减，在单调递增，
，
故选：．
例4．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是
A．B．，C．，D．
【解析】解：函数的图象如图所示
其中，且，，关于对称，
，
，
，
，
，
，，，
，
当且仅当时取等号，
当时，，
当时，，
的取值范围为，
故选：．
例5．已知函数，，若，，则的最大值为 ．
【解析】解：由题意得，，即，
由函数，得，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，
作函数的图象如图所示，
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
，设，，
则，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以（e），即的最大值为．
故答案为：．
例6．已知函数，若存在互不相等实数、、、，有（a）（b）（c）（d），则的取值范围是 ．
【解析】解：作出函数的图象，如图所示，
设与函数的交点自左至右依次为，，，，
由图可知，，，
由，解得，由，解得，
故，，
，
，
在，上是减函数，
，，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
例7．已知，若存在实数，，，满足．且，则的取值范围为 ， ．
【解析】解：由题意，函数的大致图象如图所示，
由图象知，，；
由，关于对称，可得，
，可得，
那么，
构造新函数，，；
则，，；
在区间，单调递增，
可得，
在区间，单调递减，
，可得数区间，单调递增，，单调递减，
当时，取得最大值为
故答案为，；．
例8．函数对于任意，均满足，，若存在实数，，．满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围是 ．
【解析】解：由函数对于任意，均满足，可知的对称轴方程为．
又当时，，
作出函数的图象如图：
由图可知，与，与关于直线对称，
，，
又（a）（b），
，
，
，
，
设（b），，
（b），
（b）在上单调递增，
（b），
即，
，
，
即的范围为，．
故答案为：，．
例9．已知函数对于任意，均满足，当时，，若存在实数，，，满足（a）（b）（c）（d），则的最大值为 ．
【解析】解：函数对于任意，均满足，
可得的图象关于直线对称，
即，
（a）（b），即有，即，，
，
可设，当且仅当时，取得最小值3，
由在，递减，可得的最大值为（3），
故答案为：3．
【同步练习】
一．选择题
1．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：，
函数定义域，
，
当时，，单调递增，当时，（1），所以时，；时，；
当时，，单调递减，此时，
所以若存在，，使得成立，
则且，
所以，即，
所以 ，，
令，，
，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，．
故选：．
2．已知函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x），当x≤1时，f（x）＝，（其中e为自然对数的底数），若存在实数a，b，c，d（a＜b＜c＜d）满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则（a+b+c+d）b﹣ea的取值范围为（ ）
A．（﹣1，4）B．[﹣1，）
C．（，4）D．[2ln2﹣1，）
【解析】解：由函数f（x）对于任意x∈R，均满足f（x）＝f（2﹣x），可知f（x）的对称轴方程为x＝1．
又当x≤1时，f（x）＝，
∴作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，a与d，b与c关于直线x＝1对称，则a+b+c+d＝4．
又∵f（a）＝f（b），∴ea＝lnb+2，
因此（a+b+c+d）b﹣ea＝4b﹣lnb﹣2．
由题意知，＜b≤，
令g（b）＝4b﹣lnb﹣2，（＜b≤），
则g′（b）＝4﹣，令g′（b）＝0，
得b＝，故g（b）在上单调递减，在（，）上单调递增．
故，
由，g（）＝，而＞0．
∴g（b）∈[2ln2﹣1，）．
故选：D．
3．已知函数，，若，，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：的定义域为，
所以，，
，，，则，
又因为，
所以，
令，则，
，当时，，递增，
所以，
则，
，，
所以在区间上，，递减；在区间，上，，递增，
所以的最小值为，即选项正确．
故选：．
4．已知函数，．若，，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：，
即，
①，，
②，
又在，上单调递增，
故由①②得，
故，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，
故选：．
5．已知函数，若对任意，，总存在，使，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：对任意，，，即函数的值域为，，
若对任意，，总存在，使，
设函数的值域为，则满足，即可．
当时，函数为减函数，则此时，
当时，，，
①当时，即时，要使，成立，
则此时，所以；
②当时，此时，要使，成立，
则此时当时，，，
此时满足，即，得，
综上或，
故选：．
6．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则的最小值为
A．2B．C．D．
【解析】解：由题意，，，，其中，且，
，
令，则，
，
时，；时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
时，．
故选：．
二．多选题
7．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【解析】解：令，得，令，得，
则点、，如下图所示：
由图象可知，，其中，
令，则，
则函数单调递增，且，
当时，，当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增，
，选项正确；
，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，则满足方程，
使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，
由于，（1），
则存在，使得，可得，
当时，；当时，．
，
函数没有零点，选项错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
，消去得，
令，则，
函数在上为减函数，（1），，
则存在，使得，且．
当时，，当时，．
函数在上为减函数，，，
由零点存 定理知，函数在上有零点，
即方程有解．
使得曲线在点处的切线也是曲线的切线．
故选：．
8．已知直线与函数，的图像分别交于、两点，则
A．的最小值为
B．存在实数，使得曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．存在实数，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【解析】解：令，得，
令，解得，
则点坐标为，点坐标为，，
画出，的图象和直线，如图所示：
由图象可知，，其中，
令，则，
则函数单调递增，且，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以，故正确；
因为，，
则，，
曲线在点处的切线的斜率为，
曲线在点处的切线的斜率为，
令，即，即，
因为满足方程，
所以存在实数，使得曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线，故正确．
由函数，可得，
所以函数在上为增函数，
由于，（1），
所以存在，，使得，
可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以
，
所以函数没有零点，故错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，，
同理，曲线在点处的切线方程为，
所以，
消去得，
令，
则，
所以函数在上为减函数，
因为（1），（2），
则存在实数，使得，且，
当时，，
当时，，
所以，函数在上为减函数，
因为（2），（8），
由函数零点存在定理知，函数在上有零点，
即方程在上有解，
所以，存在实数，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线，故正确．
故选：．
三．填空题
9．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，，，使得，则的值为 12 ．
【解析】解：不妨设、、、按从左到右顺序排列：
如图：
当时，有且仅有不相等的三个正数，，，使得，
则当时，，，，此时；
如图，
，
结合上问可知，当时，存在，使得，
不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以；
对于、满足方程，即，所以，则有，
所以，其中，则，
故答案为：12；．
10．已知函数若关于的方程有三个不相等的实数解，，，则的取值范围是 ．
【解析】解：，
作出的函数图象如图所示：
不妨设，则，，
由图象可知，且，
，即，
．
的取值范围是．
故答案为：．
11．已知函数，存在三个互不相等的正实数，，且有（a）（b）（c），则（a）的取值范围是 ．
【解析】解：作出函数的图象如图，
令（a）（b）（c），
三个互不相等的正实数，，满足，
，，，
由（a）（b），得，即，得，
即，，
又（a）（c），
（a）（c），
，（c）．
故答案为：．