新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第21讲 双变量问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，，，求证：．
【解析】（1）解：函数的定义域为，
因为恒成立，
所以函数在为减函数，
故函数的单调递减区间为；
（2）证明：不妨设，
先证，
只要证，即证，
即证，
令，，
则需证，
由（1）知，在为减函数，
当时，，
又（1），
所以，即得证；
下面再证，
即证，
令，，
只要证，，
令，，
则恒成立，
故在为减函数，
所以（1），
则，
所以成立．
综上所述，．
例2．已知函数，．
（1）当时，求曲线与的公切线方程；
（2）若有两个极值点，，且，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）设的切点为，
易得切线方程为（2分）
设的切点为，可得切线方程为，
以上两条切线重合得（4分）
故公切线方程为（5分）
（2）的零点为，，
，
，
令可得变形得（8分）
令，则，
令，则，
递减，，
，递减，，
易知，，，（10分）
令，则，可得在，上递增，
（12分）
例3．函数．
（1）当时，求曲线与曲线的公切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，，求证：关于的方程有唯一解．
【解析】解：（1）设曲线的切点是，
则切线方程是：，
即，
设的切点是，
则切线方程是，
故切线方程是：，
故，得，
即，
令，则，
故在递增，在，递减，
又，故，，
故公切线方程是：；
（2）先证明，
有2个极值点，
有2个不同的零点，
当时，递增，不可能有2个零点，
当时，，则在递增，在，递减，
又，，，，
故，得，，
，
由，得，
故
，
下面再证明，
，
令，只需证明，
令，
则，
则（1），，得，
方程有唯一解．
例4．已知函数，．
（1）当时，若直线与曲线及都相切，求直线的方程；
（2）若有两个极值点，．
①求实数的取值范围；
②若，求实数的最大值．
【解析】解：（1）当时，，
设曲线上的切点为，则切线方程为，
设曲线上的切点为，则切线方程为．
由两条切线重合得，则，
所以公切线方程为．
（2）①因为，所以，
令，则，
当时，所以单调递减，不合题意．
当时，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
若有两个极值点，，则，
解得．
因为，．
（可以证明：当时，，令，，
令，可知，，是减函数，，是增函数，并且是最小值，，所以，是增函数，恒成立，所以当时，，恒成立）．
所以，，
因为函数的图象连续不断，所以函数在，各存在一个零点，
故实数的取值范围是．
②令，可得，则，
令，则，
又令，则，
所以在，上单调递减，所以，
所以，即在，单调递减，，
故的最大值是．
例5．已知函数．
（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若，求在区间，上的最小值；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
【解析】解：（1）当时，，，
（1），（1），
曲线在，（1）处的切线方程为；
（2）时，，，
，
当时，，
在，增，最小值为；
当时，令，解得：，令，解得：，
在，减，，增，最小值为．
证明：（3），函数有两个极值点、，
即有两个不同的实根，
当时，单调递增，不可能有两个不同的实根；
当时，设，，
若时，，单调递增，
若时，，单调递减，
，
．
不妨设，
，
，，，
先证，即证，
即证
令，即证
设，则
函数在上单调递减，
（1），
，
又，
．
例6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，，
所以在上单调递增．
当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，
，
又，
，
又，
，即；
设，则，
在，上单调递增，在上单调递减，
有两个不相等的实根，（1），（e），时，，
，且，
易知，对，，恒成立，
则对，，恒成立，
，
，
，
又，△，
或，
且，
，
，
，
故．
【同步练习】
1．已知函数．
（1）讨论的导函数的零点个数；
（2）当时，证明：．
【解析】解：（1）由题意的定义域为，
若，由，则没有零点；
若或，由，，
，则有一个零点；
若，由，由，则没有零点；
（Ⅱ）由（1）知，．
当时
当，时，．
当，时，．
函数在，单调递增，在当，单调递减；
故所以在取得最大值，最大值．
由．
可得
等价于
即
设，则
当时，，
当时，
在单调递增，在单调递减．
当时取得最大值，即最大值为（1），
当时，．
即成立．
故得成立．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
则当时，；时，．
故在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）不妨假设，而，由（Ⅰ）知在单调递减，
从而，，
等价于，，①
令，则
①等价于在单调递减，即．
从而
故的取值范围为，．（12分）
3．已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，如果对任意，，当，都有，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为
，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，令，解得，
则当时，，
，时，
故在上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅱ），而，
由（1）知在上单调递减，
从而，，
等价于，，①
令，则
①等价于在上单调递减，
即在上恒成立
从而．
故的取值范围为，．
4．已知函数，．
（1）若，函数的图象与函数的图象相切，求的值；
（2）若，，函数满足对任意，，，都有恒成立，求的取值范围；
【解析】解：（1）若，函数的图象与的图象相切，
设切点为，，则切线方程为，
，得，；
（2）当，时，，
，在，上单调递增．
不妨设，原不等式，即．
设，则原不等式在，上递减．
即在，上恒成立．
在，上恒成立．
函数在，上递减，，
，又，
．
5．已知函数，．
（1）若，函数的图象与函数的图象相切，求的值；
（2）若，，函数满足对任意，，，都有恒成立，求的取值范围；
（3）若，函数，且有两个极值点，，其中，求
的最小值．
【解析】解：（1）若，函数的图象与的图象相切，
设切点为，，则切线方程为，
，
解得，．
．
（2）当，时，，，
在，递增．
不妨设，
原不等式等价于，
即．
设，
则原不等式等价于在，上递减，
即在，上恒成立．
在，上恒成立．
设，在，上递减，
，
，
又，
；
（3）若，函数
，，由题意知，是的两根，
，，，，
，
令，
，
当，时，，在，上单调递减，
的最小值为
即 的最小值为
6．已知函数，．
（1）若函数的图象与函数的图象相切，求的值及切点的坐标；
（2）若，，，且，求证：．
【解析】解：（1）设切点为，
由的导数为，
可得切线的斜率为，
又，
即有，，
由，
导数，
在递增，当时，，
即有时，，递增；
时，，递减．
即有时，取得最小值，且为0，
可得切点为，且；
（2）证明：要证．
即证，
即为，
即有，
即证，
由，可设，
由，
由，可得，，
则，可得在，递增，
由，可得，
故原不等式成立．
7．已知函数，为常数）．
（1）函数的图象在点，（1）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）若，，、，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）当时，若对于区间，内的任意两个不相等的实数，，都有成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），，（1），
函数的图象在点，（1）处的切线方程为，（2分）
直线与函数的图象相切，由消去得，
则△，解得或（4分）
（2）当时，，
，（5分）
当，时，，在，上单调递减，
（1），（2），（7分）
则，
，故满足条件的最大整数是．（9分）
（3）不妨设，
函数在区间，上是增函数，
，
函数图象的对称轴为，且，
函数在区间，上是减函数，
，（10分）
等价于，
即，（11分）
等价于 在区间，上是增函数，
等价于在区间，上恒成立，（12分）
等价于在区间，上恒成立，
，又，．（14分）
8．已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求函数在区间，上的最大值；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）对任意，，总存在唯一的，，使得成立，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当，，时，，
所以在，递增，所以（e）（4分）
（Ⅱ）①当时，，，，恒成立，
在，上增函数，故当时，（e）（5分）
②当时，，，
当即时，在时为正数，所以在区间，上为增函数，
故当时，，且此时（1）（e）（7分）
当，即时，在时为负数，在间，时为正数，
所以在区间，上为减函数，在，上为增函数，故当时，，
且此时（e）（8分）
当，即时，在时为负数，所以在区间，上为减函数，
故当时，（e）（9分）
综上所述，函数的最小值为（10分）
所以当时，得；当时，无解；
当时，得不成立．
综上，所求的取值范围是（11分）
（Ⅲ）任意，，总存在唯一的，，使得成立，
等价为的最小值小于等于的最小值．
①当时，在，单调递增，
由（2），
得（12分）
②当时，在，单调递减，由（a），
设，，
所以单调递增且（1），所以恒成立得（14分）
③当时，在递增，在递减，
在，递增，所以由，
得，
设，
则，，所以递增，且（2），
所以恒成立，无解．
④当时，在递增，在递减，在，递增，
所以由得无解．
综上，所求的取值范围是．
9．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间，上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
（Ⅲ）设，．当时，若对于任意，存在，，使，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当时，，
，
令，解得：，令，解得：，
在区间，上是增函数，在，上为减函数，
（1），
又，
；
（2）令，
则的定义域为．
在区间上，函数的图象恒在直线下方
等价于在区间上恒成立．①，
①若，令，得极值点，，
当，即时，在上有，
在上有，在，上有，
此时在区间，上是增函数，
并且在该区间上有，，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上，
有（1），，也不合题意；
②若，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足（1），
由此求得的范围是，．
综合①②可知，当，时，函数的图象恒在直线下方；
（3）当时，由（Ⅱ）中①知在上是增函数，
在上是减函数，所以对任意，都有（1），
又已知存在，，使，
即存在，，使，即存在，，，
即存在，，使．
因为，，
所以，解得，所以实数的取值范围是，．
10．设是函数，的一个极值点．
（1）求与的关系式（用表示，并求的单调区间；
（2）设，若存在，，，使得成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），（1分）
由（3），得，即得，（2分）
则．
令，得或，由于是极值点，，即，（4分）
当时，，则在区间上，，
为减函数；在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数． （5分）
当时，，则在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数；
（2）由（Ⅰ）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，
由于连续，而，（4），（3），
那么在区间上的值域是：，，
又，，，，
，
在区间上是减函数，而，（4），
它在区间上的值域是：，，
只需即可，解得：，
的范围是：．
11．设是函数，的一个极值点．
（Ⅰ）求与的关系式（用表示，并求的单调区间；
（Ⅱ）设，，若存在，，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）
，
由题意得：（3），即，，
且
令得，．
是函数，的一个极值点
，即
故与的关系式，．
（1）当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：，；
（2）当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，，在，上单调递增，在，上单调递减，
，（3）．
在，上的值域为，．
又，在，上单调递增，
在，上的值域为．
由于，
若存在，，，使得成立，
必需，解得．
的取值范围是．
12．已知函数，，其中．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）在时，是否存在极值点？如果存在不妨设为，且，试判断与的大小，并说明理由．
【解析】解：（1）
①当时，所以，，的变化如下表：
所以在单调减，在单调增．
②当时，即，
所以，，的变化如下表：
所以在单调增．
③当时，即时．
当时，；，
所以在单调增，单调减，单调增．
④当时，即时．
，
，
所以在单调增，单调减，单调增．
综上：当时在单调减，在单调增，
当时在单调增，
当时在单调增，单调减，单调增，
当时在单调增，单调减，单调增．
（2）解：．
理由如下：
由（1）知道有两个极值点，，
，
，
令，则
，
，
13．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）设函数，．试讨论函数的单调性；
（2）设函数，，若对任意，且都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），．
，
，
当时，，
在上单调递增，
当时，由，解得或，
在，上单调递增，
由，解得，
在上单调递减；
当时，由，解得或，
在，上单调递增，
由，解得，
在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2），，
，
，
不等式，等价于，且，
记，
在，上单调递增，
在，上恒成立，
，在，上恒成立，
记，
，
在，上单调递增，．
实数的取值范围为，．
14．已知函数，其中为实常数．
（1）若当时，在区间，上的最大值为，求的值；
（2）对任意不同两点，，，，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）函数，，，
，则，得，
当时，，当，时，，
在时，取最大值，
当时，在区间，上的最大值为，
当时，在区间，上的最大值（1），解得．
当时，在区间，上的最大值，解得，不合题意；
当时，在区间，上的最大值（e），不合题意；
综上，．
（2）对任意不同两点，，，，
设直线的斜率为，若恒成立，
，
，
在上是增函数，
在上恒成立，
，
，，
当且仅当时，即取等号，
．
的取值范围是，．
15．已知实数，设函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【解析】解：（1）当时，，，
，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1），得，
当时，，等价于，
令，则，
设，，
则，
当，时，，
则，
记，，
则
，
列表讨论：
（1），
．
当时，，
令，，，
则，
故在，上单调递增，，
由得（1），
，，
由知对任意，，，，，
即对任意，，均有，
综上所述，所求的的取值范围是，．
16．已知．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，若存在，存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）依题意，，
，
,，
的值域为，；
（2），
，
又，
的值域为，
依题意，的值域与的值域交集非空，由（1）知，的值域为,，
若的值域与的值域为空集，则或，此时或，
要使的值域与的值域交集非空，则．
17．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）若函数的值域为，求的值；
（2）已知函数，，，求函数的单调区间和值域；
（3）对于（2）中的函数和函数，若对任意，，总存在，，使得成立，求实数的值．
【解析】解：（1）函数在上是减函数，在上是增函数．
时：最小，的最小值是，解得：；
（2），当且仅当时“”成立，
函数在，递减，在，递增，
（1），，
函数的值域是，；
（3）在，单调递减，，，
由题意知：，，
于是有：，解得：．
18．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设．当时，若对任意，存在，，使，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
则
令
①当时，，
当，，，函数单调递减；
当，，，函数单调递增．
②当时，由，即，解得，．
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，，时，，函数单调递减；
时，，，函数单调递增；
，时，，，函数单调递减．
当时，当，，，函数单调递减；
当，，，函数单调递增．
综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；
当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，单调递增，，单调递减．
（Ⅱ）当时，在上是减函数，在上是增函数，所以对任意，
有（1），
又已知存在，，使，所以，，，（※）
又，，
当时，（1）与（※）矛盾；
当，时，（b）也与（※）矛盾；
当时，（2），解得
综上，实数的取值范围是，．
0
极小值
0
，
1
0
单调递减
极小值（1）
单调递增