新高考数学二轮复习函数与导数压轴小题突破练习专题21 三次函数问题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·四川凉山·统考一模）一元二次方程的两根满足，这个结论我们可以推广到一元三次方程中．设为函数的三个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设（且）的三个实根分别为，
所以，
所以，
所以，
所以，，，
即，，，
所以，
所以函数中，，
，，
故选：D
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
3．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，得，，
即函数的对称中心为，
函数存在极大值与极小值，设极值点为，，
，即或．，
，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
，，故的值域为．
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
【答案】A
【解析】设的对称中心为，
设，
则为奇函数，由题可知，且，
所以，即，
则，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
所以，
．
故选：A．
5．（2023秋·北京·高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）
A．20m B．30m C．45m D．60m
【答案】B
【解析】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，
由题意题中三次函数的导函数是二次函数，记为，的最小值是，设，则，，，
因此可设，，，
，
所以它们在竖直方向上的距离约为30 m，
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
7．（2023·河南·统考三模）已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出的图像如图所示，由的图像可知，
的极大值为，极小值为，
有9个零点，令，结合和的图像可知，
有3个解，
分别设为，且，
且每个对应都有3个满足，
欲使有9个零点，
由图可知：，
且，，，
由函数的解析式知：
，，，
由图像可知，
，
则，
解得，
得，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
，
又直线过点，
，
化简得，
即，
，
，
故选：D
9．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考模拟预测）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得三次函数过两点，，所以可设
又，所以
故选：C
10．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在上单调递增，恒成立，
，，，，
，
令，设，
则，
，，（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
故选：.
12．（2023春·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数有两个零点，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则得或
三次函数有两个零点，且程有四个实数根，
所以只需或共有四个根即可，
所以或.
又方程有四个实数根，则或共有四个根.
在,上单调递增，在单调递减.
当时，，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则，即，解得.
当，得，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则，即，解得.
综上所述，当时，方程有四个实数根.
故选：C
13．（2023春·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
由得或，又，
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为；
又有四个实数根，故方程，或方程共有四个实数根，
或或，
解得：.
故选：A
14．（2023·全国·高三专题练习）下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；
②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】A
【解析】①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明）
②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为，，斜率，
切线为，所以
，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；
④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；
故选：A
15．（2023春·重庆·高三重庆一中阶段练习）若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有组？
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，
不妨设>，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,
∴两条切线距离为d==,
化简得=1+9，令，显然u=1为一解，
又-8u+10=0有两个异于1的正根，
∴这样的u有3解，而，>，且+=2，即与是一一对应的，
∴这样的，有3组，故选D.
16．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·高三校联考期中）对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：
①一定存在实数，使得成立；②一定存在实数，使得成立；③若，则；④若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【解析】，，因为，所以②正确，但①不一定正确.由已知命题得，函数关于点中心对称，所以③正确.若存在实数，且满足：，则函数在上可以单调递增，也可以单调递减，所以④不正确.
故选C.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,所以的零点为.故答案为D
18．（2023·全国·校联考一模）已知三次函数，，且有三个零点.若三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则零点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个或个
【答案】A
【解析】由可得，
因为三次函数和均为上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，
所以这两个函数的导函数必为完全平方式，
设，，
，
有三个零点，不单调，即必有两个不相等的实数根，
，
，且与同号，不可能有两个不相等的实数根，故单调，
由于当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的增长速率远远大于和趋向于正无穷的增长速率；当趋向于负无穷时，趋向于负无穷的增长速率远远大于趋向于正无穷和趋向于负无穷的增长速率；
故当趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号，
所以三次函数必有零点，故有唯一零点
故选：
19．（2023·全国·高三专题练习）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题目图象可知，该三次函数过原点，故可设该三次函数为，
则，由题得：，，
即，解得：，
所以.
故选：A.
20．（2023秋·四川成都·高三开学考试）若以曲线上任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作切线，且，则称曲线具有“可平行性”，现有下列命题：
①函数的图象具有“可平行性”；
②定义在的奇函数的图象都具有“可平行性”；
③三次函数具有“可平行性”，且对应的两切点，的横坐标满足；
④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当.
其中的真命题个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由“可平行性”的定义，可得曲线具有“可平行性”，则方程 (是导数值)至少有两个根．
①函数，则，
方程，即，
当时有两个相等正根，不符合题意，①错误；
②定义在的奇函数，如，则，
方程，当时有两个相等实数根，不符合题意，②错误；
③三次函数，则，
方程在判别式时不满足方程 (是导数值)至少有两个根，③错误；
④函数，，
函数，，
由，得，
∴，则.
故要使得分段函数的图象具有“可平行性”，
当且仅当，④正确；
真命题个数为1个.
故选：A.
21．（2023秋·吉林·高三舒兰市第一高级中学校阶段练习）已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，因为是的极值点，所以是方程的两个根，，，
所以，即，
，
作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
则表示可行域内点与点连线的斜率，
当取点和时，分别为斜率的最小值和最大值，
此时斜率分别为和，所以的取值范围是，
故选：B．
二、多选题
22．（2023·山西晋中·统考二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
【答案】BCD
【解析】由题意知，，恒成立，
所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为，则，
切线方程为，
代入点得，
即，解得或，
所以切线方程为或，C正确；
易知，令，则．
当时，，，所以点是的对称中心，
所以有，即．
令，
又，
所以，
所以，D正确．
故选：BCD.
23．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点D．过可以作三条直线与图像相切
【答案】AB
【解析】，，
，即，解得，故A正确；
，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以既有极大值又有极小值，故B正确；
由选项B可知在与处取得极大值与极小值，
又，，即的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3个零点，故C错误；
设切点为，则切线方程为，
又切线过，则，
化简得，即，解得或，
即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.
故选：AB.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（ ）
A．B．有3个零点
C．的对称中心是D．
【答案】ABD
【解析】由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
25．（2023秋·江苏无锡·高三统考期中）某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是（ ）
A．函数的图象过点(2，1)
B．函数在x＝0处有极值
C．函数的单调递减区间为[0，2]
D．函数的图象关于点(1，0)对称
【答案】AD
【解析】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，由递减区间可得；
对于D选项，函数的图象关于点(1，0)对称，则有，
代入化简得；
当时，ABC均正确，D错误
当时，BCD均正确，A错误；
故选：AD
26．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
【答案】ABC
【解析】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.
当时，有，，所以，故D不正确.
故答案为：ABC.
三、填空题
27．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第四中学校考开学考试）设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.
【答案】
【解析】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.
故答案为：
28．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知三次函数，且，，，则__________
【答案】2035
【解析】设，则，所以，所以，所以.
故答案为：2035.
29．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题设，其图象如下，
当，与只有一个交点且；
当，与有两个交点且或；
当，与有三个交点且；
当，与有两个交点且；
由题图，要使，有9个零点，则，，且有，
根据解析式：，
综上，， 可得，故.
故答案为：
30．（2023秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知三次函数无极值，且满足，则______.
【答案】
【解析】由题设，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，可得，
所以.
故答案为：
31．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数，数列{}满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数：②数列{}是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式=___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】设，则，要满足题设条件则，即，
此时，上，递增；上，递减；
不妨令，则，由，当时递减.
综上，满足条件的一个函数有.
故答案为：(答案不唯一)
32．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数_________.
①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上是增函数.
【答案】
【解析】，为奇函数，有三个零点0，，
，时，，即在为增函数，
①②③都满足，∴.
故答案为：
33．（2023·江西·统考模拟预测）设三次函数(b，c为实数)的导数为，设，若在R上是增函数，则的最大值为_______________.
【答案】
【解析】 ,
，
，
恒成立
，
故，
，
令，
，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
34．（2023秋·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得：
指数函数（且）与三次函数的图象
恰好有两个不同的交点，
等价于方程有两个不同的解，
对方程两边同时取对数得：，
即，
，
，
从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取到极大值，也是最大值，最大值为，
又因为当时，，
当时，，
所以，
解得
故答案为：
35．（2023·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，若点是函数的“拐点”，则函数的最大值是__________.
【答案】
【解析】由题意，函数，
则，
因为点是函数的一个“拐点”，可得，
又因为，可得，所以，
令，则，所以，
所以当时有最大值.
故答案为：.
36．（2023·全国·高三专题练习）设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【答案】
【解析】因为，所以，即.
因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，则.①当时，；②当时，当且仅当时，取得最大值为.
故答案为
37．（2023秋·江苏常州·高三常州市第一中学阶段练习）已知三次函数，对于任意，均有 且存在唯一，满足，则______
【答案】
【解析】，
，
即，
又存在唯一满足，
必为二次函数，且最大值为，
即，
，
，，
，
故答案为：.
38．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）三次函数有三个零点a，b，c，且满足f(－1)＝f(2)＜0，f(1)＝f(4)＞0，则的取值范围是________________．
【答案】
【解析】解方程组得，，回代解不等式得，
根据条件设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故．
39．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考开学考试）已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为____________．
【答案】3
【解析】由题意得在R上恒成立，则，
，
令，
，
（当且仅当，即时取“”）.
故答案为3.
40．（2023秋·天津·高三耀华中学阶段练习）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为_________.
【答案】22
【解析】.
∵三次函数在R上单调递增，
∴f′(x)⩾0在R上恒成立(不恒等于0)，
∴，即.
∴，
∴，
令t=>1,则,
当且仅当时,即取等号．
故的最小值为：22.
故答案为22.
41．（2023秋·湖南·高三阶段练习）若二次函数有两个零点、，则，类比此，若三次函数有三个零点、、，则__________．
【答案】
【解析】若二次函数有两个零点，
则，
类比此，若三次函数有三个零点，
则，
故答案为：.