初中数学8.3 实数及其简单运算优秀同步测试题

这是一份初中数学8.3 实数及其简单运算优秀同步测试题，文件包含专题07实数及其简单运算9大题型+过关训练-新教材原卷版docx、专题07实数及其简单运算9大题型+过关训练-新教材解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30926" 【题型一 实数的概念理解】 PAGEREF _Tc30926 \h 1
\l "_Tc5369" 【题型二 实数的运算】 PAGEREF _Tc5369 \h 2
\l "_Tc20370" 【题型三 估算无理数的大小】 PAGEREF _Tc20370 \h 4
\l "_Tc9771" 【题型四 无理数的整数部分或小数部分的有关计算】 PAGEREF _Tc9771 \h 5
\l "_Tc13345" 【题型五 实数与数轴】 PAGEREF _Tc13345 \h 6
\l "_Tc9768" 【题型六 实数的大小比较】 PAGEREF _Tc9768 \h 8
\l "_Tc18634" 【题型七 程序设计中的实数运算】 PAGEREF _Tc18634 \h 9
\l "_Tc20848" 【题型八 新定义中的实数运算】 PAGEREF _Tc20848 \h 10
\l "_Tc5581" 【题型九 实数运算中的规律探究】 PAGEREF _Tc5581 \h 12
【题型一 实数的概念理解】
例题：（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）在实数，，，0，，中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：无理数有，，，共3个，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有 个无理数．
【答案】2
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，
无理数有2个，分别是：、（每两个之间依次多个），
故答案为：2．
2．（2025七年级·全国·专题练习）在①，②3.14，③，④，⑤0，⑥0.454455444555…（4和5的个数依次增加1）⑦，⑧中，有理数有 ，无理数有 ．（填序号）
【答案】 ①②④⑤⑦ ③⑥⑧
【分析】本题考查了有理数的定义和无理数的定义：无限不循环小数，开方不尽的数等，熟记无理数定义是解题的关键．
根据有理数和无理数的定义，逐个分析判断即可．
【详解】解：，
①，②3.14，③，④，⑤0，⑥0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），⑦，⑧中，
①②④⑤⑦是有理数，
③⑥⑧是无理数，
故答案为：①②④⑤⑦；③⑥⑧．
【题型二 实数的运算】
例题：（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查乘方，算术平方根，立方根的计算，掌握实数的计算法则是解题的关键．
先算乘方，绝对值，立方根，算术平方根的结果，再根式实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）计算或求x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，立方根的性质：
（1）利用算术平方根、立方根的定义分别化简，再合并即可求解；
（2）利用立方根的性质，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
．
【题型三 估算无理数的大小】
例题：（24-25八年级上·广东佛山·期中）估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的定义是解题的关键．由得到，进而求解即可．
【详解】解：，
，
即，
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）估算的值应在（ ）
A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
【答案】C
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数，进而得到的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴．
故选：C．
2．（2025七年级·全国·专题练习）在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围．
求出每个实数的范围，再判断即可．
【详解】解：，，，，
则，
，
故介于2和3之间的数有，介于3和4之间的数有．
故答案为：；．
【题型四 无理数的整数部分或小数部分的有关计算】
例题：（24-25八年级上·山西晋城·期末）的小数部分可以表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出的整数部分即可得到它的小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴的小数部分是，
故答案为：．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）设的小数部分为的整数部分为，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出x、y的值是解题的关键．
先根据无理数的估算求其x、y的值，然后计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
【题型五 实数与数轴】
例题：（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，根据，即可求解．
【详解】解：因为，
所以两点之间表示的无理数可能是．
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，数轴上的点A所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴点A所表示的数为．
故选：C．
2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：由所给数轴可知，
且，所以故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
由，且得，，即故D选项符合题意．
故选：D．
【题型六 实数的大小比较】
例题：（24-25八年级上·山西晋中·期末）比较大小： ．（填写“”，“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查比较实数的大小，利用估算法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小： （用“”，“”或“”填空）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先分析出，易得，然后比较和大小即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
∴．
故答案为：．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）写出一个比大且比小的整数 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查估算无理数的大小．熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键．
利用估算无理数大小的逼近方法，求出和的范围，即可求解．
【详解】∵，，
∴，．
∴比大且比小的整数有5、6．
∴可取5．
故答案为：5．
【题型七 程序设计中的实数运算】
例题：（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是
【答案】
【分析】将代入程序进行计算即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．
2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ．
【答案】
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解．
本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义．
【详解】解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16，
16是有理数，再输入可得：
16的算术平方根是4，
4是有理数，再输入可得：
4的算术平方根是2，
2是有理数，再输入可得：
2的算术平方根是，
是无理数，则输出y的值是．
故答案为：．
【题型八 新定义中的实数运算】
例题：（24-25七年级上·重庆·开学考试）规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出的结果，再求和即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：．
(1)若，，计算的立方根；
(2)若，求的值．
【答案】(1)5
(2)或．
【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键．
（1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可；
（2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴
∴的立方根是5；
（2）∵
∴
∴
∴
∴或．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减运算以及实数的新定义的运用，根据新运算法则，先进行分类讨论，即，或当，分别算出x的范围，再进行化简计算，即可作答．
【详解】解：依题意，∵当时，；
∴当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，故此种情况不符合题意；
∵当时，．
∴当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型九 实数运算中的规律探究】
例题：（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可．
【详解】解：，，，，
∴第个数为，
∴第8个数为；
故选C．
【变式训练】
1（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中______，______；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______；
(3)试比较与a的大小．
【答案】(1)，；
(2)①；②；
(3)当或1时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用．
（1）填写表格，通过计算，即可得到答案；
（2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案；
（3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表格可得：∵，，
∴；
∵，，
，
故答案为：；．
（2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，
∴从到被开方数扩大到原来倍，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当或1时，；当时，；当时，．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）现有一组有规律排列的数：1， 其中1， 这六个数按此规律重复出现，问：
(1)第个数是什么数？
(2)把从第1 个数开始的前个数相加，结果是多少？
(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，则共有多少个数的平方相加？
【答案】(1)
(2)
(3)共有个数的平方相加
【分析】本题主要考查了数字类变化规律，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出这列数每6个数一个循环而且每个循环的6个数的和是0
（1）首先根据这列数的排列规律可得每6个数一个循环，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；
（2）首先用除以6求出一共有多少个循环以及剩下的数是多少，即可得出结论；
（3）首先求出、、、、、六个数的平方和是多少，然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．
【详解】（1）解：这列数每6个数一个循环：、、、、、；
∵，
∴第50个数是．
（2）

∴ 把从第1个数开始的前个数相加，结果是
（3）∵，，而且，
∴，即共有个数的平方相加．
一、单选题
1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如图，点A在数轴上表示的数可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可得点A在数轴上表示的数在和之间，再结合，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵点A在数轴上表示的数在和之间，
∵，
∴，即，
∴点A在数轴上表示的数可能为，
故选：C．
2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）下列实数：，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根与立方根，根据无理数定义解答即可.
【详解】解：，，，，是有理数， 是无理数，共2个
故选：B．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）数轴上，点在处，点在处；点是的中点，则点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上中点坐标公式以及实数的运算，解题的关键是掌握数轴上中点所表示的数的计算方法．
利用数轴上两点中点所表示的数是这两点所表示数之和的一半来计算点所表示的数．
【详解】解：已知点在处，点在处，因为数轴上中点所表示的数为，对其化简：，
所以点所表示的数是，
故答案选： D．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一个数值转换器原理如图所示，当输入时，输出的y的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，熟练掌握算术平方根和有理数、无理数的定义是解题的关键．
本题根据程序输入4，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，得出结果即可．
【详解】解：输入，4的算术平方根是2，2是有理数，还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是，是无理数，输出的y值是．
故选：D．
5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．的相反数为D．没有倒数
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可．
【详解】解：A、没有意义，故选项不正确；
B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确；
C、的相反数为，故选项正确；
D、的倒数是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）根据表格解答下列问题：
（1） ；
（2）若，则满足条件的整数n的值为 ．
【答案】 13.3 183或184/184或183
【分析】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键．
（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案；
（2）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可．
【详解】解：（1）∵，
∴
故答案为：13.3；
（2）当时，
则，
∴整数n的值为183或184，
故答案为：183或184．
8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列各数：、、0、、、、中无理数有 个．
【答案】3
【分析】此题考查了无理数、求算术平方根、立方根等知识，根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：、、0、、、、中无理数有、、，共3个，
故答案为：3
9．（24-25八年级上·重庆云阳·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
10．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可．
【详解】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：，
三、解答题
11．（2025七年级·全国·专题练习）把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个），，．
正有理数集合：{ …}；
正无理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
负无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}；
【答案】；（每两个2之间的1依次多一个），；；；（每两个2之间的1依次多一个)，，，；
【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键．根据有理数、实数的定义及其分类求解即可．
【详解】解：，，
正有理数集合：；
正无理数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，…}；
负有理数集合：；
负无理数集合：；
正实数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，，，…}；
负实数集合：．
12．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先根据零指数幂、绝对值、立方根、算术平方根的运算法则计算，再合并即可，熟练掌握相关运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：
．
13．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．
(1)实数m的值为_______；
(2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键．
（1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值；
（2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，
∴，
故答案为：；
（2）解：因为与互为相反数，
所以，
因为与均为非负数，
所以，
所以，
所以原式．
14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列各数在数轴上表示出来：，，，．并用“”连接起来．
【答案】作图见解析，
【分析】本题考查实数的大小比较，先把含有括号的数化简，然后把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接即可．解题关键是熟练掌握把实数在数轴上表示出来．
【详解】解：，，
各数这种数轴上表示为：
∴．
15．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
（1）先估算的范围，即可得出a，b的值；
（2）把a，b的值代入，再根据实数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
a
…
4
…
…
x
2
y
…
x
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
171.61
174.24
176.89
179.56
182.25
184.96