初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.3 实数及其简单运算综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）8.3 实数及其简单运算综合训练题，共11页。试卷主要包含了估算2+11的值应在，下列各数，比较大小等内容，欢迎下载使用。
1．估算2+11的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
2．下列各数：16，−227，1π，0.13．，22，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π|+|2−a|的结果为（ ）
A．π+2−2aB．π−2C．2−πD．2a−π−2
4．若整数m满足29＜m＜45，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知a，b均为正数，且a＜a，b＞b，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞1，b＞1B．0＜a＜1，b＞1
C．a＞1，0＜b＜1D．0＜a＜1，0＜b＜1
二．填空题（共5小题）
6．比较大小：
（1）40 6；（2）12−1 3．
7．若整数m满足m＜11＜m+1，则m的值是 ．
8．已知a表示13的小数部分，则a＝ ．
9．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则a+b+2026mn的值为 ．
10．若9+13与9−13的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 ．
三．解答题（共5小题）
11．（1）计算：125+3−8−(−3)2；
（2）求3（x+1）2＝27中x的值．
12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M=(a+2)2−(b−2)2+(a−b)2+b2．
（1）化简M；
（2）当a=3−2，b=−3时，求M的值．
13．已知实数A=−18+a，实数B=2+b，
（1）若a＝32，且A和B互为相反数，求此时b的值；
（2）若a=12，b=−3，求|A+B|的值；
（3）若b=2，且A和B互为倒数，求此时a的值．
14．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；3的整数部分为1，小数部分为3−1；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=3−1．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ ，n＝ ．
（2）若8−a=b+26，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值．
（3）若2−5=p+q，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值．
15．任意实数x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]表示不超过x的最大整数，0≤{x}＜1．例如：2=[2]+{2}，其中[2]=1，{2}=2−1；又如﹣2.5＝[﹣2.5]+{﹣2.5}，其中[﹣2.5]＝﹣3，{﹣2.5}＝0.5．
回答下列问题：
（1）[13]= ，{13}= ；
（2）[1−13]= ；
（3）若[x]＝2，[y]＝4，则[x+y]所有可能的值为 ．
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．估算2+11的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】利用9＜11＜16得到3＜11＜4，从而可对2+11进行估算．
【解答】解：∵3＜11＜4，
∴5＜2+11＜6．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键．
2．下列各数：16，−227，1π，0.13．，22，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：1π，22，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π|+|2−a|的结果为（ ）
A．π+2−2aB．π−2C．2−πD．2a−π−2
【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，a＞2，再运算绝对值即可求解．
【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3，
∴a＜π，a＞2，
∴原式＝π﹣a﹣（2−a）=π−2．
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点是关键．
4．若整数m满足29＜m＜45，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵29＜36＜45，
∴29＜6＜45，
∵29＜m＜45，
∴整数m＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
5．已知a，b均为正数，且a＜a，b＞b，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞1，b＞1B．0＜a＜1，b＞1
C．a＞1，0＜b＜1D．0＜a＜1，0＜b＜1
【分析】由题意得a＞1，0＜b＜1，即可解决．
【解答】解：∵a，b均为正数，且a＜a，b＞b，
∴a＞1，0＜b＜1，
综上所述，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．比较大小：
（1）40 ＞ 6；（2）12−1 ＜ 3．
【分析】（1）先估算40的大小，从而判断40，6的大小；
（2）先估算12的大小，然后根据不等式的性质判断12−1的大小，从而比较12−1，3的大小即可．
【解答】解：（1）∵6＜40＜7，
∴40＞6，
故答案为：＞；
（2）∵3＜12＜4，
∴3−1＜12−1＜4−1，
∴2＜12−1＜3，
∴12−1＜3，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了实数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
7．若整数m满足m＜11＜m+1，则m的值是 3 ．
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∵整数m满足m＜11＜m+1，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
8．已知a表示13的小数部分，则a＝ 13−3 ．
【分析】先估算13的大小，然后判断其整数部分和小数部分即可．
【解答】解：∵3＜13＜4，
∴13的整数部分是3，小数部分是13−3，
∴a=13−3，
故答案为：13−3．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小．
9．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则a+b+2026mn的值为 2026 ．
【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b＝0，mn＝1的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a和b互为相反数，m和n互为倒数，
∴a+b＝0，mn＝1，
∴a+b+2026mn=0+2026×1=2026．
故答案为：2026．
【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
10．若9+13与9−13的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 ﹣13 ．
【分析】先估算出13的范围，再求出9+13和9−13的范围，求出a、b的值，即可求出答案．
【解答】解：∵3＜13＜4，
∴12＜9+13＜13，﹣4＜−13＜−3，
∴a＝9+13−12=13−3，5＜9−13＜6，
∴b＝9−13−5＝4−13，
∴（a+3）（b﹣4）＝（13−3+3）×（4−13−4）＝﹣13，
故答案为：﹣13．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（1）计算：125+3−8−(−3)2；
（2）求3（x+1）2＝27中x的值．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）125+3−8−(−3)2
=15+(−2)−3
=−445；
（2）3（x+1）2＝27，
（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x＝2或x＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M=(a+2)2−(b−2)2+(a−b)2+b2．
（1）化简M；
（2）当a=3−2，b=−3时，求M的值．
【分析】（1）由数轴可得b＜﹣2，0＜a＜2，从而得出a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）将a=3−2，b=−3代入（1）中化简的式子计算即可得解．
【解答】解：（1）由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，
∴M=(a+2)2−(b−2)2+(a−b)2+b2
＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b）
＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b
＝2a﹣b；
（2）当a=3−2，b=−3时，原式=2×(3−2)−(−3)=23−22+3=33−22．
【点评】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键．
13．已知实数A=−18+a，实数B=2+b，
（1）若a＝32，且A和B互为相反数，求此时b的值；
（2）若a=12，b=−3，求|A+B|的值；
（3）若b=2，且A和B互为倒数，求此时a的值．
【分析】（1）把a＝32代入A=−18+a，并把二次根式化简，然后合并同类二次根式，求出A，最后根据A和B互为相反数，列出关于b的方程，解方程即可；
（2）把a=12，b=−3代入A=−18+a，实数B=2+b，求出A，B，最后根据绝对值的性质进行解答即可；
（3）先求出B，再根据A和B互为倒数，列出关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵a＝32，
∴A=−18+32=−32+32=0，
∵A和B互为相反数，
∴B=2+b=0，
∴b=−2；
（2）∵a=12，b=−3，
∴A=−18+12=−32+23，B=2−3，
∴A+B=−32+23+2−3=−22+3，
∴|A+B|=|−22+3|=22−3；
（3）∵b=2，
∴B=2+2=22，
∵A和B互为倒数，
∴−18+a=122=24，
−32+a=24，
a=32+24=1324．
【点评】本题主要考查了算术平方根和实数的性质，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式．
14．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；3的整数部分为1，小数部分为3−1；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=3−1．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ 2 ，n＝ 5−2 ．
（2）若8−a=b+26，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值．
（3）若2−5=p+q，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数5的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数8−26的大小，确定a、b的值，再进行计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数2−5的大小，确定p、q的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵2＜5＜3，而5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，
∴m＝2，n=5−2，
故答案为：2，5−2；
（2）∵8−a=b+26即8−26=a+b，
∵5＜26＜6，
∴﹣6＜−26＜−5，
∴2＜8−26＜3，
∵a是整数，且0＜b＜1，
∴a＝2，b＝8−26−2＝6−26，
∴|a+b|﹣（2b﹣1）
＝8−26−2b+1
＝8−26−12+226+1
=26−3．
（3）∵2＜5＜3，
∴﹣3＜−5＜−2，
∴﹣1＜2−5＜0，
∵若2−5=p+q，其中p是整数，且0＜q＜1，
∴p＝﹣1，q=3−5，
∴p﹣q＝﹣1﹣3+5=5−4．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
15．任意实数x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]表示不超过x的最大整数，0≤{x}＜1．例如：2=[2]+{2}，其中[2]=1，{2}=2−1；又如﹣2.5＝[﹣2.5]+{﹣2.5}，其中[﹣2.5]＝﹣3，{﹣2.5}＝0.5．
回答下列问题：
（1）[13]= 3 ，{13}= 13−3 ；
（2）[1−13]= ﹣3 ；
（3）若[x]＝2，[y]＝4，则[x+y]所有可能的值为 6或7 ．
【分析】（1）先估算13的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可；
（2）先估算13的大小，再根据不等式的基本性质求出1−13的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可；
（3）根据已知条件的定义，求出x，y的取值范围，再利用不等式的性质求出x+y的范围，进行解答即可．
【解答】解：（1）∵3＜13＜4，
∴[13]=3，{13}=13−3，
故答案为：3，13−3；
（2）∵3＜13＜4，
∴−4＜−13＜−3，
∴−4+1＜1−13＜−3+1，
−3＜1−13＜−2，
∴[1−13]=−3，
故答案为：﹣3；
（3）∵[x]＝2，[y]＝4，
∴2≤x＜3，4≤y＜5，
∴6≤x+y＜8，
∴[x+y]＝6或7，
故答案为：6或7．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义．