物理必修 第二册2 万有引力定律学案

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1.知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和适用范围。
2.理解万有引力定律的推导过程。
3.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
4.了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
知识点一 行星与太阳间的引力
如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否遵从同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。
1.太阳对行星的引力
(1)建立模型
①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。
②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，模型如图所示。
(2)太阳对行星引力的推导
设行星的质量为m，速度为v，公转周期为T，行星与太阳间的距离为r。则
(3)结论
太阳对行星的引力F与行星的质量m成 ，与r2成 ，即F∝eq \f(m,r2)。
2.行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳的引力也应与 成 ，与r2成 ，即F′∝eq \f(m太,r2)。
3.太阳与行星间的引力
(1)推导
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(太阳对行星的引力：F∝\f(m,r2),行星对太阳的引力：F′∝\f(m太,r2),根据牛顿第三定律：F与F′, 大小相等))⇒F∝eq \f(m太m,r2)
(2)太阳与行星间的引力关系：F＝ 。
例1 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝eq \f(m,r2)，行星对太阳的引力F′∝eq \f(m太,r2)，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是( )
A.由F∝eq \f(m,r2)和F′∝eq \f(m太,r2)知F∶F′＝m∶m太
B.太阳的质量大于行星的质量，所以F>F′
C.F和F′是一对平衡力，大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
训练1 把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝eq \f(r3,k)，则可推得( )
A.行星受太阳的引力为F＝keq \f(m,r2)
B.行星受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力为F＝eq \f(4π2km,r2)
D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大
训练2 由开普勒第三定律可知，所有行星围绕太阳做椭圆运动的半长轴a的三次方与公转周期T的二次方的比值都相等，可表示为学知识可得的值应为。已知太阳的质量为M，万有引力常量为G，根据所学知识可得k的值为（ ）
A．B．C．D．
知识点二 月—地检验
秋天苹果成熟后会从树上落下来；月球绕着地球在公转。
(1)苹果从树上脱落后，为什么落向地面而不是飞上天空？月球为什么能够绕地球转动？
(2)苹果和地球之间的作用与月球和地球之间的作用性质相同吗？如何证明？
1.检验目的：地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为 的力。
2.检验方法
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝ 。
(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝ ＝ 式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝ ＝ 式中m地是地球的质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(4)eq \f(a月,a苹)＝ ，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝ 。
3.检验结论：已知自由落体加速度g为9.8 m/s2，即a苹＝ ；月、地中心距离r＝3.8×108 m，月球公转周期为27.3 d，约2.36×106 s，即a月＝2.69×10－3 m/s2，则eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,3 643)，可知计算结果与预期符合得很好。
这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。
例2 (2024·河北石家庄二中高一检测)通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是( )
A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验
B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验
C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的eq \f(1,6)，从而完成了月—地检验
D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的eq \f(1,3 600)，从而完成了月—地检验
训练1某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2t1，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB，假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rA的最大值与rB的最小值之比为2：1
C．rB的最小值与rA的最小值之比为3：2
D．卫星A与卫星B的质量之比为8：9
训练2 （多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（ ）
A．v1 > v2B．a1 > a2C．F1 < F2D．t < 0.5T
知识点三 万有引力定律 引力常量
月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？通过以下实例分析。
(1)如图所示，假若小明与同桌小兵的质量均为60 kg，相距0.5 m。粗略计算他们间的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是小明和同桌小兵之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 ，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比，与它们之间距离r的 成反比。
2.表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)。
3.引力常量
由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G＝ N·m2/kg2。
4.对万有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力。
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
(4)适用范围：只适用于可以看作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体，应是两球心间的距离。
【思考】
1.有人说：根据F＝Geq \f(m1m2,r2)可得当r趋近于零时，万有引力将趋于无穷大，这种说法对吗？
2.如图所示，卡文迪什扭秤实验是世界史上最美的十个物理实验之一，你觉得测定G值有什么意义？
角度1 万有引力定律的理解
例3 关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( )
A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用
B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
C.由F＝Geq \f(m1m2,r2)知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
1.万有引力定律公式的适用条件的理解
(1)两质点间的相互作用。当物体间的距离r趋于零时，两个物体不能被看作质点，其引力不能由万有引力公式求解。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，式中r是两个球体球心间的距离。
2.两个物体之间的万有引力是一对相互作用力
训练1 下列关于物理学发展历史的说法正确的是（ ）
A．“笔尖下发现的行星—海王星”的发现者是伽利略
B．卡文迪什利用扭秤实验比较准确地测算出了引力常量G的值
C．开普勒分析卡文迪什的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律
D．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，并发现行星沿椭圆轨道运行的规律
训练2 下列说法正确的是（ ）
A．伽利略提出了行星运动的三大定律
B．牛顿最先在实验室里比较准确地测出了万有引力常量的数值
C．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
D．地球绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值与水星绕太阳的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等
角度2 万有引力的计算
例4 2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动。已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为( )
A.Geq \f(Mm,（R＋h）2) B.Geq \f(Mm,R2)
C.Geq \f(Mm,h2) D.Geq \f(Mm,R＋h)
训练1木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（ ）
A．300B．318
C．400D．360
训练2 要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（ ）
A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍
B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍
D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍
例5 (人教版教材P71复习与提高B组T3改编)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点A(引力常量为G)，求：
(1)被挖去的小球在挖去前对质点A的万有引力；
(2)剩余部分对质点A的万有引力。
训练1如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。
(1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小；
(2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。
训练2 设地球的质量均匀分布，地球半径为。现在距离地面处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，加速度大小说法正确的是（ ）
一直变大B．先变大后不变C．先变大后变小D．先不变后变小

填补法：大球体被挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球对质点产生的万有引力，此时我们采取割补法，将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整地大球对质点的万有引力，再减去挖掉的小球对质点的万有引力即可。
知识点四 万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)有人说，重力就是地球对物体的吸引力，对吗？
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn。设地球的质量为M，半径为R，如图所示。
(1)地球赤道上：Fn＝mω2R最大，此时重力最小，有Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)地球两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0，重力达到最大值。
(3)地面一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力Fn的矢量和。
(4)距离地面高度h处：Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝mg2。
结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg。
例6 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为( )
A.2πeq \r(\f(R,g－g0)) B.2πeq \r(\f(R,g0－g))
C.2πeq \r(\f(g－g0,R)) D.2πeq \r(\f(g0－g,R))
训练1地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（ ）
A．vA＝vB，ωA＝ωB，gA>gB
B．vAvB，ωA＝ωB，gA>gB
D．vA>vB，ωA＝ωB，gA