物理必修 第二册3 万有引力理论的成就导学案及答案

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1.理解“称量”地球质量的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体运动转化成相关模型后进行求解。
3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用的观念。
知识点一 “称量”地球的质量
如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？
1.思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于 。
2.关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2)。
3.地球的质量：m地＝ ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，能否用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。
2.这种“称量”星体质量的方法忽略了哪种因素的影响？
例1 (2021·全国卷)卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则地球质量约为( )
A.6×1018 kg B.6×1020 kg
C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，就可以估算出星球的质量。
训练1某天文爱好者长期观察绕地球做匀速圆周运动的不同卫星，测出各卫星运行线速度的三次方和角速度满足的关系如图所示。已知引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A．B．C．D．
训练2天文学家通过观测的数据确认了银河系中央人马座的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体绕人马座故椭圆运动，其轨道半长轴为个天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座就处在该椭圆的一个焦点上，观测得到星的运行周期为15.2年。假若将星的运行轨道视为半径个天文单位的圆轨道，可估算出人马座的质量约是太阳质量的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
知识点二 计算天体的质量和密度
太阳是一个火热的球体，如果不知道太阳表面的重力加速度，那么如何计算太阳的质量？
1.太阳质量的计算
(1)依据：设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由他们之间的万有引力提供，即Geq \f(mm太,r2)＝ 。
(2)结论：m太＝ ，测出行星的公转周期T和它与太阳间的距离r，就可以算出太阳的质量。
2.行星质量的计算：如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。
【思考】 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳间的距离r。
(1)写出太阳质量的表达式，并根据结果进一步理解开普勒第三定律。
(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？
角度1 重力加速度法
例2 宇航员在距某一星球表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，不计一切阻力，则该星球的质量为( )
A.eq \f(2hR2,Gt2) B.eq \f(2hR2,Gt)
C.eq \f(2hR,Gt2) D.eq \f(Gt2,2hR2)
训练1天问一号探测器在距火星表面高度为h的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知引力常量为G，火星的半径为R，火星的质量为（ ）
A．B．C．D．
训练2我国计划在未来建立一个由21颗卫星组成的“月球北斗”导航系统，来帮助中国航天更安全、高效地探索月球。若将月球和地球均视为圆球，已知月球的平均密度约为地球平均密度的倍，则月球近地卫星的运行周期约为地球近地卫星运行周期的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
角度2 环绕法
例3 一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3) B.eq \f(π2,2GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3)
C.eq \f(3,2GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3) D.eq \f(3π,4GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3)
天体质量和密度的计算方法(天体质量为M)
训练1 2024年5月3日17时27分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将嫦娥六号探测器送入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。世界首次月球背面采样返回之旅开启。探测器登月前，先进入椭圆轨道Ⅱ，再进入近月圆轨道I。图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G，则（ ）
A．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间
B．探测器第一次从Q点飞行到P点的时间
C．月球的密度为
D．月球的密度为
训练2中国的月球计划分为“绕月—探月—登月”三步，并预计在2030年前实现登月计划。假设在不久的将来，中国载人飞船在月球表面成功着陆，宇航员在月球表面将一小球以初速度竖直向上抛出，经时间t小球落回抛出点。已知万有引力常量G、月球的半径R和，忽略月球的自转。求月球的平均密度。
知识点三 发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星—— 。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体。
3.哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为 年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在 年左右。
4.海王星的发现和 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
例4 十八世纪，人们已经知道太阳系有七颗行星，但是第七颗行星天王星的运动轨道有些“古怪”：它的轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道存在一些偏差，这个偏差产生的原因是( )
A.天文观测数据不准确
B.万有引力定律的准确性有问题
C.离天王星较近的土星对天王星的影响
D.天王星轨道外面还有一颗未发现的行星
1.发现过程
(1)由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想。
(2)根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道。
(3)根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置。
(4)进行实地观察验证。
2.海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。
训练1万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（ ）
A．太阳B．地球C．海王星D．月球
训练2下列说法正确的是（ ）
A．哥白尼提出的日心说指出地球是围绕太阳转动的
B．卡文迪许应用万有引力定律，计算并观测到海王星
C．英国物理学家牛顿通过扭秤实验装置测量出了引力常量的大小
D．开普勒在伽利略观察的星体轨迹数据基础上提出了开普勒三大定律
知识点四 天体运动的分析与计算
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
(1)Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。
(2)忽略天体自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)(物体在天体表面受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”，R为天体半径，g为天体表面的重力加速度。
3.四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
例5 (2022·上海卷)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h、46 min和85 h、22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则( )
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
训练1北斗卫星导航系统是我国实施的自主发展，独立运行的卫星导航系统，实现了全球通讯全覆盖。如图，两颗可视为质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，所受万有引力大小分别为FA、FB；角速度大小分别为ωA、ωB；周期分别为TA、TB；线速度大小分别为vA、vB。下列关系正确的是（ ）
A．FA