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人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律精品导学案及答案
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律精品导学案及答案，共14页。
开普勒三定律
1. 开普勒三定律
开普勒以第谷详细的天文观测数据为基础，总结出了开普勒行星运动三定律，为牛顿万有引力定律的提出奠定了基础。其主要内容为：
1）第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
说明：第一定律指出了行星运动局限在一个平面上，在高中阶段我们把该问题化简为平面上的圆周运动问题，这就保证了同学们前面学习圆周运动的知识与方法可以应用在本节中。
2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
说明：第二定律等效于指出在天体运动中，近星体点速度大而远星体点速度小。要求同学们会根据第二定律进行定性的判定。
3）第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
说明：第三定律定量的指出了行星运动周期与距离中心天体的距离之间的关系，要求同学们会利用第三定律定量计算同一中心天体不同卫星的周期等与圆周运动相关的量。
2. 开普勒第三定律的应用
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
注意：在应用开普勒第三定律的时候，应该注意其成立前提，即：对于同一个中心天体的不同环绕天体。同时应明确，开普勒第三定律既可以讨论圆轨道，也可以讨论椭圆轨道上的运动，对于圆轨道表达式中的代表圆轨道半径，对于椭圆轨道表达式中的则代表椭圆轨道的半长轴。
1. 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A. 开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B. 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C. 开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D. 开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案：B
解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒三定律，找出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，是牛顿发现了万有引力定律
2. 对于开普勒第三定律的表达式的理解正确的是（ ）
A. 与成正比
B. 与成反比
C. 值是与和无关的值
D. 值只与中心天体有关
答案：CD
解析：由开普勒第三定律可知，所有行星的半长轴a的三次方与公转周期T的平方之比都是不变的，当a增大时，T也增大，使得k值不变，所以A、B错误.k是由与恒星有关的量决定，而与a、T及行星都无关，故C、D正确。
有一颗与同步卫星在同一轨道平面的人造卫星，自西向东绕地球运行。已知它的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，地球自转周期为T，则该卫星至少需要相隔多长时间才在同一城市的正上方再次出现?
答案：
解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以根据开普勒第三定律该人造卫星与同步卫星的周期之比是
即
设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，
根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得：
解得t=，即卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次。
1. 使用开普勒第三定律的方法
（1）明确中心天体。
（2）找到研究对象距离中心天体的距离之比（或周期之比）。
（3）带入求得周期之比（或距离之比）。
2. 天体圆周的追击相遇问题：当两天体的角位移满足时两者再次相遇。
（答题时间：30分钟）
1. 根据开普勒行星运动规律推论出下列结论中，哪个是错误的（ ）
A. 人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B. 同一卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同
C. 不同卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同
D. 同一卫星绕不同行星运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等
2. 设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常数，即R3/T2=k，那么k的大小（ ）
A. 与行星质量有关 B. 与恒星质量有关
C. 与恒星及行星的质量均有关 D. 与恒星的质量及行星的速率有关
3. 1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（ ）
A. 0.6小时 B. 1.6小时 C. 4.0小时 D. 24小时
4. 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为（ ）
A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米 C. 4.6亿千米 D. 6.9亿千米
5. 如图所示，三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC 。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示。那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是（ ）
6. 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104km和rB＝1.2 ×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的周期之比；
（2）求岩石颗粒A和B的线速度之比
1.【答案】D
【解析】A. 根据开普勒第一定律，人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，故A正确。
B. 根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。
即=k，其中k与中心体的质量有关，所以不同卫星在绕同一中心体在不同轨道上运动，k是一样的，故BC正确，D错误。
2.【答案】B
【解析】由开普勒第三定律，所有行星的椭圆半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，该比值k是只与恒星质量有关的恒量，B选项正确。
3.【答案】B
【解析】由开普勒行星运动定律可知：=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24 h），代入数据解得t1=1.6 h，所以本题正确选项为B。
4.【答案】A
【解析】由题干得知“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。
由表中得知地球公转周期1年，火星公转周期为1.88年。所以火星与太阳之间的平均距离约为（1.5亿）3÷（1.0年）2×（1.88年）2，即约为2.3亿千米。
5.【答案】C
【解析】根据开普勒第三定律有，轨道半径越大，周期越大，相同的时间内转过的角度越小。因为：RA＜RB＜RC。所以在A卫星转过 的时间内，三卫星对地球转过的角度θ A＞θB＞θ C，所以C正确，ABD错误。
6.【解析】设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，根据开普勒第三定律
对于A、B两颗行星可得：，根据可得：
万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2. 表达式：F＝G
其中G=6.67×10-11N•m2/kg2，称为引力常量，适用于任何两个物体。G的值是由英国物理学家卡文迪许通过扭秤装置在实验室中测出的。
3. 适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
4. 对万有引力定律的理解
（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用。
（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
（3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的存在才有宏观物理意义。
（4）特殊性：两物体间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关。
5. 万有引力与重力的关系
（1）重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力。引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力），如图所示。但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
（2）重力加速度的计算
A. 在地球表面附近（h<
根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
B. 在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
C. 质量为、半径为R的任意天体表面的重力加速度
根据万有引力定律，有，
则。
如图所示，两球的半径远小于，两球质量均匀分布，质量为、，则两球间的万有引力大小为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：两个球的半径分别为和，两球之间的距离为，所以两球心间的距离为，
根据万有引力定律得：
两球间的万有引力大小为
已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。求：在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
答案：5.6
解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M′，半径为R′，地面重力加速度为g′，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
，
由月球表面万有引力等于重力，可得，
解得：，
同理可得：。
在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：。
1. 万有引力定律：
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G
（3）适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
2. 万有引力与重力
万有引力是重力的一个分力，在近似的情况下，可以认为万有引力等于重力。并且随着纬度的增大，重力是逐渐增大的。
3. 重力加速度的大小：
（1）在地球表面附近（h<
根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
（2）在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
注意：高度越大，重力加速度越小。
（答题时间：30分钟）
1. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）
A. 甲的运行周期一定比乙的长
B. 甲距地面的高度一定比乙的高
C. 甲的向心力一定比乙的小
D. 甲的加速度一定比乙的大
2. 2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”（Jun）冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”。在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转。这些小天体就是太阳系中的小行星。冲日是观测小行星难得的机遇。此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧。“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则（ ）
A. 2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度
B. 2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度
C. 2005年12月12日，必将发生下一次“婚神”星冲日
D. 下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生
3. 假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（ ）
A. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
B. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
C. 地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D. 地球绕太阳公转的周期变为缩小前的
4. 两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A. B. C. D.
5. 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）
6. 如图所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
1.【答案】D
【解析】由v＝可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B错误；由公式T＝2π可知，甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G＝ma，可得a＝，甲的加速度比乙大，D正确。
2. 【答案】BD
【解析】由G＝m得v2∝，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a＝＝G知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C错误，D正确。
3.【答案】BC
【解析】天体的质量M＝ρπR3，各天体质量变为M′＝M，变化后的向心力F′＝G＝F，B正确。又由G＝mr，得T′＝T。
4. 【答案】D
【解析】小铁球之间的万有引力F=，大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量：对小铁球有m=ρgV=ρg（），对大铁球有M=ρgV′=ρg［］=8×ρg（）=8m，两个大铁球间的万有引力为F′==16F。
5. 【答案】
【解析】当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为t。
6. 【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：
重难点
题型
分值
重点
天体运动的特征
选择
计算
4-6分
难点
开普勒第三定律的应用
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期（年）
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
重难点
题型
分值
重点
万有引力定律的内容
选择
计算
6-8分
难点
万有引力与重力的联系
开普勒三定律
1. 开普勒三定律
开普勒以第谷详细的天文观测数据为基础，总结出了开普勒行星运动三定律，为牛顿万有引力定律的提出奠定了基础。其主要内容为：
1）第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
说明：第一定律指出了行星运动局限在一个平面上，在高中阶段我们把该问题化简为平面上的圆周运动问题，这就保证了同学们前面学习圆周运动的知识与方法可以应用在本节中。
2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
说明：第二定律等效于指出在天体运动中，近星体点速度大而远星体点速度小。要求同学们会根据第二定律进行定性的判定。
3）第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
说明：第三定律定量的指出了行星运动周期与距离中心天体的距离之间的关系，要求同学们会利用第三定律定量计算同一中心天体不同卫星的周期等与圆周运动相关的量。
2. 开普勒第三定律的应用
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
注意：在应用开普勒第三定律的时候，应该注意其成立前提，即：对于同一个中心天体的不同环绕天体。同时应明确，开普勒第三定律既可以讨论圆轨道，也可以讨论椭圆轨道上的运动，对于圆轨道表达式中的代表圆轨道半径，对于椭圆轨道表达式中的则代表椭圆轨道的半长轴。
1. 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A. 开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B. 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C. 开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D. 开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案：B
解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒三定律，找出了行星运动的规律，但并未找出行星按照这些规律运动的原因，是牛顿发现了万有引力定律
2. 对于开普勒第三定律的表达式的理解正确的是（ ）
A. 与成正比
B. 与成反比
C. 值是与和无关的值
D. 值只与中心天体有关
答案：CD
解析：由开普勒第三定律可知，所有行星的半长轴a的三次方与公转周期T的平方之比都是不变的，当a增大时，T也增大，使得k值不变，所以A、B错误.k是由与恒星有关的量决定，而与a、T及行星都无关，故C、D正确。
有一颗与同步卫星在同一轨道平面的人造卫星，自西向东绕地球运行。已知它的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，地球自转周期为T，则该卫星至少需要相隔多长时间才在同一城市的正上方再次出现?
答案：
解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以根据开普勒第三定律该人造卫星与同步卫星的周期之比是
即
设卫星至少每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，
根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ=ωt得：
解得t=，即卫星至少每隔时间才在同一地点的正上方出现一次。
1. 使用开普勒第三定律的方法
（1）明确中心天体。
（2）找到研究对象距离中心天体的距离之比（或周期之比）。
（3）带入求得周期之比（或距离之比）。
2. 天体圆周的追击相遇问题：当两天体的角位移满足时两者再次相遇。
（答题时间：30分钟）
1. 根据开普勒行星运动规律推论出下列结论中，哪个是错误的（ ）
A. 人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B. 同一卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同
C. 不同卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同
D. 同一卫星绕不同行星运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等
2. 设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运动轨道半径R的三次方之比为常数，即R3/T2=k，那么k的大小（ ）
A. 与行星质量有关 B. 与恒星质量有关
C. 与恒星及行星的质量均有关 D. 与恒星的质量及行星的速率有关
3. 1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（ ）
A. 0.6小时 B. 1.6小时 C. 4.0小时 D. 24小时
4. 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为（ ）
A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米 C. 4.6亿千米 D. 6.9亿千米
5. 如图所示，三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC 。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示。那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是（ ）
6. 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104km和rB＝1.2 ×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的周期之比；
（2）求岩石颗粒A和B的线速度之比
1.【答案】D
【解析】A. 根据开普勒第一定律，人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，故A正确。
B. 根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。
即=k，其中k与中心体的质量有关，所以不同卫星在绕同一中心体在不同轨道上运动，k是一样的，故BC正确，D错误。
2.【答案】B
【解析】由开普勒第三定律，所有行星的椭圆半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，该比值k是只与恒星质量有关的恒量，B选项正确。
3.【答案】B
【解析】由开普勒行星运动定律可知：=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24 h），代入数据解得t1=1.6 h，所以本题正确选项为B。
4.【答案】A
【解析】由题干得知“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。
由表中得知地球公转周期1年，火星公转周期为1.88年。所以火星与太阳之间的平均距离约为（1.5亿）3÷（1.0年）2×（1.88年）2，即约为2.3亿千米。
5.【答案】C
【解析】根据开普勒第三定律有，轨道半径越大，周期越大，相同的时间内转过的角度越小。因为：RA＜RB＜RC。所以在A卫星转过 的时间内，三卫星对地球转过的角度θ A＞θB＞θ C，所以C正确，ABD错误。
6.【解析】设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，根据开普勒第三定律
对于A、B两颗行星可得：，根据可得：
万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2. 表达式：F＝G
其中G=6.67×10-11N•m2/kg2，称为引力常量，适用于任何两个物体。G的值是由英国物理学家卡文迪许通过扭秤装置在实验室中测出的。
3. 适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
4. 对万有引力定律的理解
（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用。
（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。
（3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的存在才有宏观物理意义。
（4）特殊性：两物体间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关。
5. 万有引力与重力的关系
（1）重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力。引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力），如图所示。但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
（2）重力加速度的计算
A. 在地球表面附近（h<
根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
B. 在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
C. 质量为、半径为R的任意天体表面的重力加速度
根据万有引力定律，有，
则。
如图所示，两球的半径远小于，两球质量均匀分布，质量为、，则两球间的万有引力大小为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：两个球的半径分别为和，两球之间的距离为，所以两球心间的距离为，
根据万有引力定律得：
两球间的万有引力大小为
已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。求：在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
答案：5.6
解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M′，半径为R′，地面重力加速度为g′，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
，
由月球表面万有引力等于重力，可得，
解得：，
同理可得：。
在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：。
1. 万有引力定律：
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G
（3）适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算；如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。
2. 万有引力与重力
万有引力是重力的一个分力，在近似的情况下，可以认为万有引力等于重力。并且随着纬度的增大，重力是逐渐增大的。
3. 重力加速度的大小：
（1）在地球表面附近（h<
根据万有引力定律有，，式中M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
（2）在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
注意：高度越大，重力加速度越小。
（答题时间：30分钟）
1. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）
A. 甲的运行周期一定比乙的长
B. 甲距地面的高度一定比乙的高
C. 甲的向心力一定比乙的小
D. 甲的加速度一定比乙的大
2. 2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”（Jun）冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”。在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转。这些小天体就是太阳系中的小行星。冲日是观测小行星难得的机遇。此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧。“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则（ ）
A. 2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度
B. 2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度
C. 2005年12月12日，必将发生下一次“婚神”星冲日
D. 下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生
3. 假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是（ ）
A. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
B. 地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
C. 地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D. 地球绕太阳公转的周期变为缩小前的
4. 两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A. B. C. D.
5. 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为R0）
6. 如图所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。
1.【答案】D
【解析】由v＝可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B错误；由公式T＝2π可知，甲的周期小，故A错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G＝ma，可得a＝，甲的加速度比乙大，D正确。
2. 【答案】BD
【解析】由G＝m得v2∝，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a＝＝G知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C错误，D正确。
3.【答案】BC
【解析】天体的质量M＝ρπR3，各天体质量变为M′＝M，变化后的向心力F′＝G＝F，B正确。又由G＝mr，得T′＝T。
4. 【答案】D
【解析】小铁球之间的万有引力F=，大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量：对小铁球有m=ρgV=ρg（），对大铁球有M=ρgV′=ρg［］=8×ρg（）=8m，两个大铁球间的万有引力为F′==16F。
5. 【答案】
【解析】当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为t。
6. 【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形空穴的铜球和质量为m的小球的万有引力是不可能的，但可看成大小两个实心铜球与质量为m的小球的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们之间的吸引力。
设被挖去的部分质量为，则：
①
②
所以： ③，
所以：
④
代入数据得：
重难点
题型
分值
重点
天体运动的特征
选择
计算
4-6分
难点
开普勒第三定律的应用
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期（年）
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
重难点
题型
分值
重点
万有引力定律的内容
选择
计算
6-8分
难点
万有引力与重力的联系
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