人教版 (2019)必修 第二册万有引力定律学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册万有引力定律学案
1．开普勒三定律
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
3．对三定律的理解
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）由开普勒第二定律可得＝，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
4．万有引力定律
（1）内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
（2）适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
二．典例精讲
1．开普勒第一定律和第二定律
例题1 如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是（ ）
A．太阳位于焦点F1处
B．S1＞S2
C．在M和N处，小行星的动能EkM＞EkN
D．在N和P处，小行星的加速度aN＞aP
【答案】B
【解析】已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1＞S2，B正确；由动能定理，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM＜EkN，C错误；根据万有引力公式F＝，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN＜aP，D错误。
2．开普勒第三定律
例题2 2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ（也称距角，即“大距”）时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律，根据几何关系sin θ＝，联立解得sin θ＝，故选B。
3．对万有引力定律的理解
例题3 关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）
A．公式F＝中的G为引力常量，由牛顿通过扭称实验测出
B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
C．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
【答案】D
【解析】A．公式F＝中的G为引力常量，测出引力常量的科学家是卡文迪什。故A错误；
B．两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，大小相等，方向相反。故B错误；
C．公式F＝只适用于质点间的万有引力大小的计算，当r趋近于零时，此公式已不适用，不能由公式F＝计算万有引力大小，万有引力也不趋于无穷大，故C错误；
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的。故D正确。
4．割补法求解万有引力
例题4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】挖去小球前球与质点的万有引力F1＝，挖去的球体的质量M′＝，被挖部分对质点的引力为F2＝，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
三．跟踪训练
1．2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【答案】C
【解析】ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；
D．根据万有引力公式F万＝，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
故选：C。
2．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的
C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
【答案】D
【解析】根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝，可知地球在近日点的运行速度最大，在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；根据对称性可知，地球从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知地球从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故地球从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。
3．2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道（图中未画出），进入近火点高度（离火星表面的高度）为h、远火点高度为H、周期为的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为（ ）
A．(H＋h)B．(H＋h＋2R)
C．(H＋h)D．(H＋h＋2R)
【答案】B
【解析】根据开普勒第三定律可得，解得a＝(H＋h＋2R)， 故选B。
4．（多选）如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（ ）
A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小
B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小
C．大小为
D．大小为
【答案】BC
【解析】AB．挖去后的部分不是质量分布均匀的球体，所以无法利用万有引力定律直接计算引力的大小，故A错误，B正确；
CD．根据体积公式V＝，挖去的半径为的小球的体积为原来球的体积的，则其质量为原球质量的，即为M，用没挖之前完整大球对小球的引力减去被挖部分对小球的引力得到挖去后剩余部分对小球的引力F＝＝，故C正确，D错误。
故选BC。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律（周期定律）
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量