必修 第二册万有引力定律导学案

这是一份必修 第二册万有引力定律导学案，共6页。学案主要包含了活动方案，检测反馈等内容，欢迎下载使用。
1. 能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式，体会逻辑推理在物理学中的重要性．
2. 了解万有引力定律得出的过程和思路，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件．
3. 会用万有引力定律解决简单的引力计算问题．
eq \a\vs4\al(活动一：探究太阳与行星间的引力)
1. 问题的提出：开普勒发现行星运动规律后，人们开始更深入地思考：为什么行星围绕太阳运动？
2. 猜想与假设：伽利略、开普勒以及法国数学家笛卡儿都提出过太阳对行星的引力应该与行星到太阳的距离有关．而且，牛顿时代的科学家胡克、哈雷等甚至推导出了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力大小跟行星到太阳距离的二次方成反比．
3. 演绎与推理：（牛顿在椭圆轨道情形中推导的）
eq \a\vs4\al(活动二：感知月—地检验)
牛顿想：太阳与行星间的引力使得行星不能飞离太阳；而地面上的物体，如苹果，被抛出后总要落回地面，是什么力使得苹果不离开地球呢？如果苹果延伸到月球那么远，苹果是否也会像月球那样围绕地球运动？地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力，也许真是同一种力？这个大胆的想法要由事实检验．
1. 月—地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是否为同一种性质的力，是否都遵从 的规律．
2. 推理：月心到地心的距离约为地球半径的60倍，如果月球绕地球运动的力与地面上使物体下落的力是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是它在地面附近下落时加速度的 ．
3. 验证
已知月球与地球之间的距离r＝3.8×108 m，月球公转周期T＝27.3天，重力加速度g＝9.8 m/s2，求 eq \f(a月,g).
eq \a\vs4\al(活动三：理解万有引力定律)
牛顿作了更大胆的设想，任意两个物体之间都存在这样的力吗？很可能因为一般物体的质量比天体的质量小得多，我们没有觉察到．于是，上述结论被推广到宇宙中的一切物体之间．
1. 万有引力定律：自然界中 都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比．
2. 表达式：F＝ ．
(1)r的理解
①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示 间的距离．
②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个 间的距离．
③一个质量分布均匀的球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到 的距离．
④当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力．
(2)引力常量G的测量
18世纪末，英国科学家卡文迪什将小金属球系在长为6英尺木棒的两边并用金属线悬吊起来，这个木棒就像哑铃一样；再将两个350磅的铜球放在相当近的地方，以产生足够的引力让哑铃转动并扭转金属线；然后用自制的仪器测量出微小的转动．测量结果 卡文迪什扭秤实验示意图
惊人地准确，他测出了引力常量约为G＝6.672 59×10-11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2.
卡文迪什扭秤实验是世界史上最美的十个物理实验之一，你觉得测定G值有什么意义？
3. 木星的卫星中有4颗是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中三颗卫星的周期之比为1∶2∶4.小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期T，它收集到了木卫二的数据：质量为m1＝4.8×1022 kg、绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为r1＝6.7×108 m；木星的数据：质量为m2＝1.9×1027 kg、半径为r2＝7.1×107 m、自转周期为T1＝9.8 h.但他不知道怎样做，请你帮助他选出计算木卫二绕木星运动的周期的计算公式( )
A. T＝T1 B. T＝ eq \r(\f(4π2r eq \\al(3,1),Gm2)) C. T＝ eq \r(\f(4π2r eq \\al(3,2),Gm2)) D. T＝ eq \r(\f(4π2r eq \\al(3,1),Gm1))
4. 一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，问：
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
总结：割补法的应用．
万有引力定律适用于质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，把完整的大球看作残缺的空心球与被挖去的小球的组合，质量为m的质点受到的引力变成整个球体对质点的引力与挖去的小球体对质点的引力之差．
1. 在牛顿发现太阳与行星间的引力过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是( )
A. 研究对象的选取 B. 理想化过程
C. 控制变量法 D. 等效法
2. 对于太阳与行星间的引力表达式F＝G eq \f(Mm,r2)，下列说法错误的是( )
A. M、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
B. M、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，M和m都处于平衡状态
C. M、m彼此受到的引力总是大小相等
D. 公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
3. 如图所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为( )
A. G eq \f(m1m2,r eq \\al(2,0)) B. eq \f(Gm1m2,r eq \\al(2,1))
C. eq \f(Gm1m2,(r1＋r2)2) D. eq \f(Gm1m2,(r1＋r2＋r0)2)
4. 火星的质量约为地球质量的 eq \f(1,10)，半径约为地球半径的 eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
5. 设地球半径为R，一物体在地球表面时与地球间的万有引力为F，则当该物体在距地面高R处时（如图所示），与地球间的万有引力大小为( )
A. eq \f(1,2)F B. eq \f(1,4)F
C. 2F D. 4F
6. 如图所示，等边三角形ABC边长为L，在三角形的三个顶点A、B、C各固定质量均为m的三个小球，已知引力常量为G，则C点小球受A、B两点小球的万有引力的合力为( )
A. 2G eq \f(m2,L2) B. 3G eq \f(m2,L2)
C. eq \r(2)G eq \f(m2,L2) D. eq \r(3)G eq \f(m2,L2)
7. 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A. 太阳引力远小于月球引力
B. 太阳引力与月球引力相差不大
C. 月球对不同区域海水的引力大小相等
D. 月球对不同区域海水的引力大小有差异
8. 设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )
A. 零 B. 无穷大 C. G eq \f(Mm,R2) D. 无法确定
9. 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝ eq \f(R,2)，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. eq \f(F,2) B. eq \f(F,8) C. eq \f(7F,8) D. eq \f(F,4)
10. 如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为 eq \f(R,2) 的小球体后，剩余部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d、质量为m的质点的引力是多大？
第2节 万有引力定律
【活动方案】
活动一：
3. eq \f(r3,k) 4π2k eq \f(m,r2) eq \f(M,r2) eq \f(Mm,r2) G eq \f(Mm,r2)
活动二：
1. 平方反比
2. eq \f(1,602)
3. a月＝ eq \f(4π2,T2)r≈2.69×10-3 m/s2，
eq \f(a月,g)＝2.7×10-4≈ eq \f(1,602).
活动三：
1. 任何两个物体 连线 乘积 二次方
2. G eq \f(m1m2,r2)
(1)①两质点 ②球心 ③球心
(2)证明了万有引力定律的正确性；使万有引力定律有了真正的实用价值．
3. B 木卫二绕木星做圆周运动时，木星对它的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有G eq \f(m2m1,r eq \\al(2,1))＝m1 eq \f(4π2,T2)r1，解得T＝ eq \r(\f(4π2r eq \\al(3,1),Gm2))，故B正确，A、C、D错误．
4. (1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
F2＝ eq \f(Gmm2,(d－r)2)＝ eq \f(Gmm2,25r2).
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝ eq \f(4,3)πR3、m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力为
F1＝G eq \f(8m·m2,(6r)2)＝G eq \f(2mm2,9r2)，
故剩余部分对m2的万有引力为
F＝F1－F2＝G eq \f(41mm2,225r2).
【检测反馈】
1. D 对于太阳与行星之间的相互作用力，太阳和行星的地位完全相同，既然太阳对行星的引力符合关系式F∝ eq \f(m星,r2)，依据等效法，行星对太阳的引力也符合关系式F∝ eq \f(m日,r2)，故D正确．
2. B 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故A、C正确，B错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关，故D正确．故选B.
3. D 两个匀质球体间的万有引力F＝G eq \f(m1m2,r2)，r是两球心间的距离，r＝r1＋r2＋r0，F＝G eq \f(m1m2,(r1＋r2＋r0)2)，D正确．
4. B 万有引力表达式为F＝G eq \f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 eq \f(F火引,F地引)＝ eq \f(M火r eq \\al(2,地),M地r eq \\al(2,火))＝0.4，B正确．
5. B 一物体在地球表面时，有F＝ eq \f(GMm,R2)，当该物体在距地面高R处时，有F′＝ eq \f(GMm,(2R)2)＝ eq \f(GMm,R2)· eq \f(1,4)，联立解得F′＝ eq \f(F,4)，故A、C、D错误，B正确．
6. D 解析：由万有引力公式可得，A、B两点小球对C点小球的万有引力FAC、FBC均为FAC＝FBC＝G eq \f(m2,L2)，A、B两点小球对C点小球的万有引力FAC、FBC的夹角为60°，则两力的合力为F＝2FACcs 30°＝ eq \r(3)G eq \f(m2,L2)，所以D正确，A、B、C错误．
7. D 根据万有引力定律，太阳引力F太＝G eq \f(M太M地,r eq \\al(2,太地))，月球引力F月＝G eq \f(M月M地,r eq \\al(2,月地))，故太阳引力与月球引力的比值为 eq \f(F太,F月)＝ eq \f(G\f(M太M地,r eq \\al(2,太地)),G\f(M月M地,r eq \\al(2,月地)))＝ eq \f(M太,M月) eq \f(r eq \\al(2,月地),r eq \\al(2,太地))＝2.7×107× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,400))) eq \s\up12(2)＝168.75，故A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，地球潮汐是由于月球对海水不同程度的吸引造成的，故C错误，D正确．
8. A 把物体放到地球的中心，此时F＝G eq \f(Mm,r2) 已不适用．地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力为零，故A正确．
9. C 利用填补法来分析此题．原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为 eq \f(R,2) 的球体的质量为原来球体的质量的 eq \f(1,8)，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－ eq \f(F,8)＝ eq \f(7,8)F.C正确．
10. 完整的均匀球体对球外质量为m的质点的引力为F＝G eq \f(Mm,d2)，设挖去小球体后的剩余部分对质点的引力为F1，半径为 eq \f(R,2) 的小球体对质点的引力为F2，则F＝F1＋F2，半径为 eq \f(R,2) 的小球体质量M′＝ eq \f(4,3)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(3)ρ＝ eq \f(M,8)，F2＝G eq \f(M′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝G eq \f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))，所以F1＝F－F2＝G eq \f(Mm,d2)－G eq \f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝GMm eq \f(7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d－\f(R,2)))\s\up12(2)).