（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题03 三角形与圆（四大题型）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：三角形的“四心”
题型二：几种特殊的三角形
题型三：直线与圆的位置关系
题型四：点的轨迹
【知识点梳理】
知识点1：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
知识点2：几种特殊的三角形
结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
知识点3：直线与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
图1
观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
图2
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.
图3
当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，.
图4
如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
知识点4：点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
【题型归纳目录】
题型一：三角形的“四心”
题型二：几种特殊的三角形
题型三：直线与圆的位置关系
题型四：点的轨迹
【典例例题】
题型一：三角形的“四心”
例1．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，已知，M为边上一动点，，D为边上一动点，，交于点N．
(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题
若，则______（直接写出结果）
(2)【问题探究】若，猜想与n存在怎样的数量关系？并证明你的结论
(3)【问题拓展】若，，则______（直接写出结果）
例2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，将绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为且.
(1)在旋转过程中，当落在线段上时，求的长；
(2)连接、，当时，求；
(3)在旋转过程中，若的重心为G，则的最小值=________.
例3．（2023·上海杨浦·统考一模）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G．
(1)设，___________（用向量表示）
(2)如果，，求边的长．
例4．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交边或边于点，点是射线上的一点，且，以、为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为（秒）．
(1)用含的代数式表示线段的长．
(2)当点落在上时，求的值．
(3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
(4)若重心为，矩形中心为，当点与点到直线距离相同时，请直接写出的值．
例5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）问题提出

（1）如图1，已知点为线段上一动点，分别过点作，，连接. 若，，，则的最小值为 ；
问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形的牡丹园，其中，，，，，的内心处修建一个圆形喷水池，公园的入口是的中点，是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在边上取点，上找点，修建道路 为了节省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在这样的点，使得的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
例6．（2023·安徽六安·校考模拟预测）我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为的内心．

(1)如图1，连接并延长交于点D，若，求的长；
(2)如图2，过点I作直线交于点M，交于点N．
①若，求证：；
②如图3，交于点D，若，，求的值．
例7．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，点I是的内心．

(1)求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，，求的长．
例8．（2023·浙江宁波·统考二模）在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，分别按要求画出图形（仅用无刻度直尺，并保留画图痕迹）．
(1)在图1中，已知线段的端点均在格点上，画出一个以为腰的等腰，且C在格点上．
(2)在图2中，已知为格点三角形，作出的内心点Ⅰ．
例9．（2023·湖北武汉·校联考二模）
【问题背景】
（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：；
【拓展运用】
（3）如图2，在中，，点O是的内心，若，，则的长为______．
例10．（2021·山西吕梁·统考二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
例11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究．
(1)表格中①处应填： ．
(2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明．
已知：如图1，⊙O是的外接圆，，H是的垂心，，垂足为E．
求证：．
(3)如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，于点E，为了证明．小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明．
例12．（2017秋·湖北武汉·九年级阶段练习）如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，则∠BAD=∠OAC．
(1)请你帮小聪证明这个结论；
(2)运用以上结论解决问题：如图②，H为△ABC的垂心，若∠ABC的平分线BE⊥HO，⊙O的半径为10，求弦AC的长．
例13．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一三四中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点M、N，点N坐标为，，一个高为3的等边，边在x轴上，将此三角形沿着x轴平移，在平移过程中，得到．
(1)求直线l的表达式；
(2)当的外心P恰好落在直线l上时；求P点的坐标；
(3)当点在第一象限时，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
例14．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知菱形的边长为4．，等边两边分别交边于点E，F．

(1)特殊发现：如图1，若点E，F分别是边的中点．求证：菱形对角线的交点O即为等边的外心；
(2)若点E，F始终分别在边上移动，等边的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想的外心P落在哪条直线上，并加以证明；
②学以致用：如图3，当的面积最小时，过点P任作一直线分别交边于点M，交边的延长线于点N，求的值．
题型二：几种特殊的三角形
例15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，直线与反比例函数在第一条限内交于，两点，轴上的点满足．

(1)若点坐标为，求点的坐标；
(2)若的面积为，求实数的值；
(3)设点，的坐标分别为，，求的值．
例16．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，为正方形的边上一点，为等腰直角三角形，其中．

(1)如图1，连接，求的大小；
(2)设交对角线于点，斜边交对角线于点，交边于点．
①如图2，若，求的长；
②如图3，若为中点，求的值．
例17．（2023·四川达州·统考中考真题）（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；

（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
例18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
例19．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接.

(1)【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.
(2)【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值.
(3)【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长.
例20．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，D为等边三角形的边延长线上一点，以为边作等边三角形，连接交于点F．

(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
题型三：直线与圆的位置关系
例21．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）如图，已知等腰，．动点P从点A出发，沿方向运动，到B点结束．点E为上的一个固定点，过B，P，E三点的交线段于点F，连结．记，当点P运动到时，此时．

(1)求的值；
(2)点P运动到中点时，求的面积和的半径．
(3)在整个运动过程中，
①当四边形中有两条边相等时，求x的值；
②连结，当时，则与的比是 ______．（直接写出答案）
例22．（2023·河南新乡·统考三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程：
已知：在四边形中，
求证：过点、、、可作一个圆．
证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为．分两种情况讨论．
①如图（），若点在内．延长交于点，连接．
是的外角，
．
，，
，与矛盾，
②如图（），若点在外．设交于点，连接．
是的外角，
．
，，
，与矛盾．
综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆．
学习任务：
(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______．
(2)应用上述结论，解决以下问题：
如图（3），在四边形中，，对角线，交于点．
①若，求的度数；
②若，，求的长．
例23．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．

(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．
例24．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
例25．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知，在中，，以为直径作，交边的中点．于点，连结．

(1)求证：是的切线．
(2)请你给添加一个条件，并求弧的长．
例26．（2023·福建福州·校考三模）如图，已知的半径为2，是的直径，点是延长线上一点．以为边作，使得，，与的交点为，连接，．

(1)判断直线和位置关系；
(2)若的长为，，延长交于点，求证：．
例27．（2023·河北沧州·模拟预测）如图是少年宫科技发明小组制作的一个钟表，钟面的大小会随时间的变化而发生改变.钟表底座为两根金属滑槽和，且于点，钟面由若干个形如菱形的可活动木条组成，指针绕点转动，菱形的顶点与点用连杆连接.将其抽象为图，为点的运动轨迹，与交于点，连接，与相切，且点，，恰好在同一条直线上.
请根据图解答下列问题：

(1)求证：；
(2)若，，求的长.
题型四：点的轨迹
例28．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．
根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
例29．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．

（2）迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由．

（3）拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）

例30．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广东汕头·校考一模）如图中，平分，则的面积为（ ）

A．2B．3C．4D．6
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，中，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（ ）

A．B．C．D．2
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（ ）

A．7B．8C．14D．16
5．（2023·浙江丽水·统考一模）如图，在菱形中，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的顶点上，的半径为1，E是劣弧的中点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，点A、B、C在圆O上，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（ ）

A．B．C．D．
9．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图，四边形内接于，是等边三角形，四边形是平行四边形，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
10．（2023·浙江温州·校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏格兰数学家罗伯特·西姆森发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线”．如图，半径为4的为的外接圆，过圆心O，那么过圆上一点P作三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，、是的切线，A、为切点，点、在上．若，则的度数是________．

12．（2023·广东深圳·校考三模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．

13．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，已知，在中，，是优弧上一点，、是劣弧上不同的两点（不与、两点重合），则的度数为_____°．

14．（2023·河南新乡·统考三模）如图，在中，，，，点D在AC边上，，点为斜边上一动点，连接PD，PC，则周长的最小值为______．

15．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）如图，和均为等边三角形，边长分别为12和8，点D在直线上运动，C、E在直线上方，分别连接，它们相交于点F，连接，则的长为______．

16．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，则的长为______________．

三、解答题
17．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在中，．

(1)若，求的度数．
(2)画的平分线交于点D，过点D作于点E．若，求的长．（画图工具不限）
18．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
19．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，点，分别在的边，上，，连接，．若，

(1)证明：．
(2)证明：为菱形．
20．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，和均为等腰三角形，，，，点D在线段上（与A，B不重合），连接．

(1)证明：．
(2)若，，求的长．
21．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图，在中，为的直径，为弦、，．

(1)求的度数；
(2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线．
22．（2023·北京顺义·统考二模）如图，，分别与相切于，两点，是的直径．

(1)求证：
(2)连接交于点，若，，求的长．
23．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，为锐角三角形．

(1)实践与操作：以为直径作，分别交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
24．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在正方形中，点分别在边和上，连接平分．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，连接分别交于，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．三角形关型
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
垂心的位置
直角顶点
①
在三角形外部
垂心的性质
三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍．
图形
图1
图2