（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义专题01 数与式的运算、因式分解（2份，原卷版+解析版）

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题型一：绝对值
题型二：乘法公式
题型三：二次根式
题型四：分式
题型五：十字相乘法
题型六：提取公因式法与分组分解法
题型七：关于x的二次三项式的因式分解
【知识点梳理】
知识点1：绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
知识点2：乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；
（2）完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三数和平方公式；
（4）两数和立方公式；
（5）两数差立方公式．
知识点3：二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．
（1）分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入
有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
（2）二次根式的意义
知识点4：分式
（1）分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
（2）繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
知识点5：十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则.
要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，
则、同号(若，则、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定、的符号；
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
知识点6：首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即
，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
知识点7：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2、符号语言：
3、提公因式的步骤：
（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
4、注意事项：因式分解一定要彻底
知识点8：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
【典例例题】
题型一：绝对值
例1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和B．和C．和D．和
例2．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，，则D点的位置（ ）

A．在A的左边B．在A、C之间C．在C、O之间D．在O、B之间
例3．（2023·广东佛山·统考三模）若，则（ ）
A．B．C．2D．
例4．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）已知二次函数和，令，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的倒数是（ ）
A．B．2023C．D．
题型二：乘法公式
例6．（2023·河南新乡·统考三模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）下列运算一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·广东茂名·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2022·广东湛江·一模）下列运算正确的是( )
A． B．
C．D．
例10．（2023·湖北武汉·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：二次根式
例11．（2023·河南新乡·统考三模）代数式有意义的条件为______．
例12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）计算____________．
例13．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为__________．
例14．（2023·安徽蚌埠·统考三模）计算：__________．
例15．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ___________．
例16．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）计算的结果是________．
题型四：分式
例17．（2023·广东汕头·校联考一模）化简分式：__________；
例18．（2023·湖南长沙·校考三模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
例19．（2023·内蒙古包头·统考一模）计算：_______．
例20．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算：______．
例21．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）计算：______．
题型五：十字相乘法
例22．（2023·山东淄博·统考二模）分解因式______．
例23．（2023·四川巴中·校考二模）因式分_____________．
例24．（2023·四川凉山·统考一模）因式分___________．
例25．（2023·山东烟台·模拟预测）因式分___________．
题型六：提取公因式法与分组分解法
例26．（2023·广东佛山·模拟预测）因式分______．
例27．（2023·山东德州·模拟预测）分解因式：______．
例28．（2023·江西吉安·统考三模）分解因式：= ___________．
例29．（2021·安徽宣城·校考一模）因式分x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．
例30．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）因式分______．
例31．（2023·江苏无锡·一模）分解因式：_________________
例32．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）分解因式：a2-b2+a-b=______________．
题型七：关于x的二次三项式的因式分解
例33．（2023·四川内江·统考二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
例34．（2019·重庆·统考二模）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
例35．（2019·广东湛江·校考一模）分解因式：
（1）；
（2）．
例36．（2023秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）阅读与思考
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知三边满足，请判断的形状并说明理由．
例37．（2023·全国·九年级专题练习）（1）分解因式：
（2）分解因式：
例38．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解∶
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）据安徽统计局公布，年月份，全省进出口总额亿元，用科学记数法表示亿，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西南宁·统考二模）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北保定·统考二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
6．（2023·北京·校联考模拟预测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·湖北武汉·统考三模）已知方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
8．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数和式的运算进行了深入研究与总结，运用其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.已知，为实数，且，，计算可得:，，，……由此求得（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·统考模拟预测）不能被下列数整除的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河北衡水·校联考二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题
11．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图，在长为10，宽为6的草坪中间修建宽度均为的两条道路，那么剩下的草坪面积是______．（用含的代数式表示）

12．（2023·江苏宿迁·统考三模）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：，因为，所以2136是“共生数”；，因为，所以5479不是“共生数”．若“共生数”中，十位数上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为______．
13．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）分解因式：______．
14．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知是方程的两个实数根，则的值是 _____．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在函数中，自变量的取值范围是__________．
16．（2023·河北衡水·校联考二模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即．例如：．

（1）______；
（2）______；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则______．（用含n的式子表示）
三、解答题
17．（2023·河南新乡·统考三模）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2023·江苏泰州·统考三模）（1）计算：；
（2）解方程组．
19．（2023·河北保定·统考二模）如图，数轴上点M对应的数为，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形的边在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知，，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为________；（用含t的代数式表示，不必写范围）．
(2)若，当，即点Р在边上时，点Р对应数轴上的数为________；（用含t的代数式表示）
(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则________．
20．（2018·河北·模拟预测）已知，．
(1)若，求的值．
(2)若的值与的值无关，求的值．
21．（2023·河北邯郸·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
22．（2023·安徽六安·校考三模）填空：；
；
；
……
(1)__________；
(2)猜想：__________；（其中为正整数，且）
(3)利用（2）中的猜想的结论计算：．我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到
了四项及以上的多项式要进行因式分解时．就往往不知从何下手了．因此，针对四项
及以上的多项式因式分解．我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小
组，每个小组单独进行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分
解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程：
．
（1）（×）
（2）（×）
（3）（×）
（4）（√）
（5）（×）