专题05 三角形（2份打包，原卷版+教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
如图3.2-1 ，在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，有三条边 SKIPIF 1 < 0 ，三个角 SKIPIF 1 < 0 ，三个顶点 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
知识点2：几种特殊的三角形
结论一：等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.
【题型归纳目录】
题型一：三角形的“四心”
题型二：几种特殊的三角形
【典例例题】
题型一：三角形的“四心”
例1．如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，P是线段 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证：平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
例2在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点O是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点O旋转得到 SKIPIF 1 < 0 (点A，B的对应点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，点 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
变式1．如图，已知，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作半 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 与半 SKIPIF 1 < 0 相切；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
变式2．如图， SKIPIF 1 < 0 ，点E是 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知 SKIPIF 1 < 0 三个顶点的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)请画出 SKIPIF 1 < 0 向左平移6个单位长度后得到的 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)以点O为位似中心，将 SKIPIF 1 < 0 缩小为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，请在y轴右侧画出 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
变式4．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1， SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)在图中画出 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称的 SKIPIF 1 < 0 (点A、B、C的对应点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 )；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
题型二：几种特殊的三角形
例4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
例5．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于点O．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为______ SKIPIF 1 < 0 ．
变式6．如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．

变式7．如图，点A，B在 SKIPIF 1 < 0 的同侧，线段 SKIPIF 1 < 0 相交于点E， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．

变式7．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)过点A作 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，H为垂足， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
变式8．如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1， SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)画出 SKIPIF 1 < 0 关于y轴对称的 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)画出以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的面积为5．
【过关测试】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 交y轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，且D是 SKIPIF 1 < 0 中点，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点E．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点G是x轴上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 交反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点P．若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
2.【探究】
(1)如图①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______．

【应用】
(2)如图②，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．

(3)如图③， SKIPIF 1 < 0 的中线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为______．

3．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，以AB为直径的 SKIPIF 1 < 0 与BC相交于点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 的切线交 SKIPIF 1 < 0 于点E． SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的直径为13， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
4．已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，过点A、M、D的 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于点E、F．

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的半径．