九年级上学期期末数学试题 (103)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (103)，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将代入原方程得，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义．
3. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）．
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，根据等可能事件概率的性质列方程并计算，即可得到答案．
【详解】设黄球的个数为
根据题意得：
∴
∵
∴是的解
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握等可能事件概率的性质，从而完成求解．
4. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 35°D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．
【详解】如图，连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
故选A．
【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.
5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为：，即．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（ ）．
A. 70°B. 80°C. 60°D. 50°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，
∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E，
∴∠F=∠FBC，
∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°，
∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°．
故选：B．
7. 已知两点、都在反比例函数的图象上，当时，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴该反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵点、都在反比例函数的图象上，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米
【答案】B
【解析】
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
【点睛】本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
9. 如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A. 0.4mB. 0.6mC. 0.8mD. 1m
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为，由题意可知，代入求解函数解析式，进而问题可求解．
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
设函数关系式为，由题意得：，
∴，
解得：，
∴，
当y=-0.5时，则有，
解得：，
∴水面的宽度为0.8m；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
10. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴，
∴，，
∴反比例函数的图象必在一、三象限，
一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
11. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
12. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有__________个．
【答案】20
【解析】
【分析】设白球个数为x个，由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可．
【详解】结：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故答案为20．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
14. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
15. 如图，△ABC中，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，，则的值是_____．
【答案】45．
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
详解】∵∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴设CD＝2x，BC＝3x，
∵，
∴ACx，
∴AD＝AC﹣CDx，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：有两角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
16. 如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．
17. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=，
∴，
得出OE=1，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
18. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．
【答案】．
【解析】
【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
解得，．
20. 已知，如图，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦心距四者之间的关系，熟知四者之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解．
【详解】证明：，
，
，
即，
．
21. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有_______名学生参与了本次问卷调查；
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）
（2）99
（3）小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【解析】
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【小问1详解】
解：（人）
故答案为：．
【小问2详解】
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：99．
【小问3详解】
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大
【解析】
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
23. 如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相交于点D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）先连接OD，再由OD∥AC和AC⊥BC可知OD⊥BC从而得证；
（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵OA=OD
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3；
∴OD∥AC，
又∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵BC与圆相切于点D．
∴BD2=BE•BA，
∵BE=2，BD=4，
∴BA=8，
∴AE=AB﹣BE=6，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查切线的判定, 相似三角形的判定与性质．解题关键是熟练掌握、恰当选择切线的判定方法.
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）直接写出时x的取值范围；
（3）将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标．
【答案】（1）直线为；反比例函数为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的x的取值；
（3）设平移后的一次函数的解析式为，交y轴于Q，连接，根据同底等高的三角形面积相等列方程求出a的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数为，
在上，
，
，
，
一次函数的图象经过A，，
，
解得：，
直线为．
【小问2详解】
解：由图象可知，的解集是或；
【小问3详解】
解：设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，如图所示：
令，则，
，
，
，
解得：，
平移后的一次函数的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25. 发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．
（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；
（3）度，，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识．
（1）由等边三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，

∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
26. 如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3
（2）M（，）
（3）Q（﹣1，0）或（5，﹣12）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解；
（2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），
∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，
设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），
∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋，
当m ＝时，MN的长度最大，
此时M（，）；
【小问3详解】
如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，
∵ ，
∴点P坐标（1，4），
∵点B（3，0），C（0，3），
∴PC＝，PB＝，BC＝，
∴ ，
∴△PBC为直角三角形，
∴tan∠PBC＝，
设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），
∵，
则，
解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），
故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．