九年级上学期期末数学试题 (25)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (25)，共25页。试卷主要包含了 下列图案中是中心对称图形的是， 一元二次方程配方后可化为， 下列事件是随机事件的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
故选D
3. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为
B. 任意取出两个正数，这两个正数的和为负数
C. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
D. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】D
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 任意取出两个正数，这两个正数的和为负数，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除，是必然事件，故该选项不符合题意；
D. 任意抛掷一枚质地均匀硬币，正面向上，是随机事件，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
4. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
所以△ABC的三边之比为=，
A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;
B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，为的直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，．
【详解】解：如图，连接，，

，，
，
为的直径，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角．
6. 已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点都在反比例函数y (k＜0) 的图像上，则下列关系正确的是（ ）
A. y2＜y3＜y1B. y3＜y2＜y1C. y1＜y3＜y2D. y1＜y2＜y3
【答案】A
【解析】
【分析】由反比例函数解析式中k＜0可得反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，进而求解．
【详解】解：∵y＝（k＜0），
∴函数图象在第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
当x＜0时y＞0，当x＞0时y＜0，
∴y2＜y3＜y1，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数与方程及不等式的关系．
7. 若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解．
【详解】∵根据图示知,抛物线与x轴的一个交点是(3,0)对称轴为x=1，
∴根据对称性,抛物线与x轴的另一交点为(−1,0)，
∴令y=0,即
∴方程的解是
即方程的另一解为−1，
故选B.
【点睛】考查二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点是解题的关键.
8. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，ΔABC是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，EH∥BC，则四边形的面积是ΔABC的面积的：( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG与S△ABC的面积比，从而表示出S△AEH、S△AFG，再求出四边形EFGH的面积即可．
【详解】∵在矩形中FG∥EH，且EH∥BC，
∴FG∥EH∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∵AB被截成三等分，
∴，，
∴S△AEH：S△ABC=1：9，S△AFG：S△ABC=4：9，
∴S△AEH=S△ABC，S△AFG=S△ABC，
∴S四边形EFGH= S△AFG－S△AEH=S△ABC－S△ABC=S△ABC.
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键.
10. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论：
①；②③④直线可能与有4个交点
⑤若点，点是抛物线上的两点，若，则．
其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，即可得到①正确；
根据二次函数图象与轴的一个交点为，所以时，，即，进一步推导即可证明②错误；
根据时，及对称轴为直线，得到，进一步推导即可证明③错误；
根据由二次函数的图象作出的图象，即可证明④正确；
点，点是抛物线上的两点，时不能证明，⑤错误；
【详解】二次函数图象开口向上，
，
二次函数图象与轴交于负半轴，
，
对称轴为直线，
，
，
，①正确；
二次函数图象与轴的一个交点为，
当时，，
，即，
∴，
∵b＜0，c＜0，-b＞0，
，②正确；
当时，，
，
，
，即，
，③错误；
由二次函数的图象可知的图象为，
直线可能与有4个交点，④正确；
若点，点是抛物线上的两点，
时不能证明，⑤错误；
①②和④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数，熟悉二次函数图象开口、与轴的交点、对称轴的关系式与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
12. 已知点与点关于原点对称，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知关于的方程的一个根是2，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入一元二次方程得到关于的方程，解方程即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：关于的方程的一个根是2，
，
解得：，
故答案为：3．
14. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长之比为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，，
∴与的位似比是．
∴与的相似比为，
∴与的周长比为，
故答案为：．
15. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝120°，
设⊙O的半径为r，
∵阴影部分的面积是12π，
∴，
解得：r＝6，
故答案为6．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．
16. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若的面积为4，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据C是OB的中点， 的面积为4，计算的面积为8，结合k的几何意义计算即可．
【详解】因为C是OB的中点， 的面积为4，
所以的面积为8，
因为点A在反比例函数的图像上，
所以|k|=16，
因为k＞0，
所以k=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，中线的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．

（1）在图中画出，使得与关于点对称；
（2）在（1）的基础上，画出绕点逆时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图—旋转变换，坐标与图形，熟练掌握旋转的性质，找出关键点是解此题的关键．
（1）先找出点关于原点对称的点，再顺次连接即可得到答案；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再顺次连接即可得到答案，写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为，
．
19. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是多少；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是，
故答案为．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
20. 如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1），；（2）3．
【解析】
【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）如图（见解析），先求出点的坐标，再根据的面积等于的面积与的面积之和即可得．
【详解】解：（1）将点代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为，
将点代入反比例函数得：，即，
将点一次函数得：，
解得，
则一次函数的解析式为；
（2）如图，对于一次函数，
当时，，解得，即，
则，
即的面积为3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21. “十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉．市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆.若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．
（1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？
（2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
【答案】（1）该花卉每盆售价是30元
（2）该花卉一天最大的销售利润是209元
【解析】
【分析】（1）先验证每盆花卉售价能不能是25元，然后设该花卉每盆售价x元， 再根据“若涨价销售，每盆花卉每涨价1元以及利润200元”列一元二次方程求解即可；
（2）设该花卉每天的利润为W元，每盆售价为x元，根据题意得出w关于x的二次函数，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：若每盆花卉售价25元，则其利润为，不符合题意．
设该花卉每盆售价x元，由题意得
化简得
解得．
∵销量尽可能大，∴x=30
答：该花卉每盆售价是30元．
【小问2详解】
解：设该花卉每天的利润为W元，每盆售价为x元，依题意得
∵每盆花卉涨价不超过6元，∴．
∵时，W随x的增大而增大，
∴当时，有最大值为209．
答：该花卉一天最大的销售利润是209元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，审清题意、明确题中的数量关系是解答本题的关键．
22. 如图，正方形与正方形的边长分别为和2，现在将正方形绕着点旋转．

（1）如图，连接，求证：．
（2）如图，连接，当点在内，且时，设的交点为O，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，且易得，即可证明结论；
（2）由题意易得C、F、G三点共线；由勾股定理可求得的长，从而可得的长；由（1）知，可得的长；过D作于H，则可得；由可求得结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形与四边形均为正方形，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，即，
在正方形中，，
即，
∴C、F、G三点共线；
由勾股定理，，
∴；
由（1）知，
∴，即，，
∴；
∵，，
∴；
过D作于H，则，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，综合运用这些性质是关键，注意（2）小题中C、F、G三点共线的证明易忽视或默认．
23. 如图，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，的延长线交于点F，连接．
（1）求证：
；
（2）已知．
①求的半径长；
②若点G是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①的半径长为；②
【解析】
【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得；
（2）①连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得．
②由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【小问1详解】
如下图，连接交于点M

∵为的直径
∴
∴
∵弦于点
∴
∴
∵
∴
∵与都是所对的圆周角
∴
∴
【小问2详解】
①如下图，连接

设的半径长为，则
∵弦于点
∴
∵在中，
∴
∴或（舍去）
∴的半径长为．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
24. （）问题发现
如图（），在和中，，，，连接交于点．填空：
的值为______；的度数为______．
（）类比探究
如图（），在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由．

【答案】（） ；；（），，理由见解析．
【解析】
【分析】（）利用定理证出，根根三角形全等的性质可得的值；再由三角形全等的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（）先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；与（）的解法类似，先由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形全等或相似是解题的关键．
【详解】（），
，
又∵，，
，
，，
，
故答案为；
设交于点，

，，
，
故答案为：；
（），．
理由如下：，
，
即，
，
，
，，
设交于点，

，，
，
∴∠AMB=90°．
25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标为______；
（3）点是第一象限内抛物线上一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于点P，此时的值最小；
（3）设点，则点，由三角形面积关系列出方程求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
小问2详解】
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，
设交l于点P，则P即为所求的点，
当时，，则
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
【小问3详解】
如图，
设，则，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
化简得，
解得，（舍去），
∴，
∴．