2024年中考数学真题分类汇编——最值问题练习（含答案）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编——最值问题练习（含答案），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. （2024四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0B. 0或1C. 或D. 或1
4. （2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 10
5. （2024四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 8
6. （2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）

A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④

二、填空题
1. （2024四川广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
2. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
3. （2024江苏扬州）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．
4. （2024四川广元）如图，在中，，，则的最大值为______．

5. （2024河南省）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.
6. （2024四川宜宾）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
7. （2024四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

三、解答题
1. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
2. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
3. （2024江苏连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
4. （2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
5. （2024山东枣庄）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．
6. （2024天津市）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
7. （2024安徽省）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
8. （2024四川凉山）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．

（1）求证：；
（2）求的最小值．
2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题32 最值问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
2. （2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可．
【详解】∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
当时，线段长度最小，
∵平分，
∴．
故选∶C．
3. （2024四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0B. 0或1C. 或D. 或1
【答案】A
【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
4. （2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
5. （2024四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 8
【答案】D
【解析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．
6. （2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）

A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解．
【详解】如图所示，过点作于点，

∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴
∴
又∵
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴
即
在中，
即
∵是等腰直角三角形，
∴平分
∴
∴
∴，
∴，故②正确，
如图所示，

在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且
∴，
∵
∴
∴在的上运动，
∴，
连接交于点，则，
∴当时，结合垂径定理，最小，
∵是半径不变
∴此时最大
则面积最大，
∴
，故③正确；
如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，

∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
1. （2024四川广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
2. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
3. （2024江苏扬州）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．
【答案】
【解析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，
∴点B为定点，的长度为定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H在以为直径的圆上运动，
如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，
则点在上运动，
∴当与相切时最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
4. （2024四川广元）如图，在中，，，则的最大值为______．

【答案】
【解析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：

，
在中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长到，使，连接，如图所示：

，
，，
是等腰直角三角形，则，
在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：

由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：

是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键．
5. （2024河南省）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．
6. （2024四川宜宾）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键．
7. （2024四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

【答案】
【解析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
【详解】在取点F，使，连接，，过点F作于H，

∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键．
三、解答题
1. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明的说法不正确，理由见解析
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.
【小问1详解】
解：
，
∴当时，h最大，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，得
当时，，
∴，
∴（负值舍去）；
【小问3详解】
解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得，
当时，，
解方程，得，，
∴两次间隔的时间为，
∴小明的说法不正确．
2. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为；
（2）∵，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵，
∴当时，有最小值为，
即：，
∴当时，有最大值，为．
3. （2024江苏连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
4. （2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元
（2）这天售出了64辆轮椅
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
【小问2详解】
当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
5. （2024山东枣庄）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）
【解析】【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
解：∵点在二次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴；
【小问2详解】
解：∵点在的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵，
∴当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
【小问3详解】
∵的图像与轴交点为，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
6. （2024天津市）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为 （2）10 （3）1
【解析】【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解；
（2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：，得．又，
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：过点作轴，垂足为，
则．
在中，由，
．
解得（舍）．
点的坐标为．
，即．
抛物线的对称轴为．
对称轴与轴相交于点，则．
在中，由，
．
解得负值舍去．
由，得该抛物线顶点的坐标为．
该抛物线的解析式为．
点在该抛物线上，有．
；
【小问3详解】
解：过点作轴，垂足为，
则．
．
在中，．
过点作轴，垂足为，则．
，又，
．
∴，，
∴点坐标为．
在中，，
，即．
根据题意，，得．
在的外部，作，且，连接，
得．
．
∴．
．
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．得．
．解得（舍）．
点的坐标为，点的坐标为．
点都在抛物线上，
得．
．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
7. （2024安徽省）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ）
【解析】【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；
（2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．
【小问1详解】
解：，
∴的顶点为，
∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）得
∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）将代入，
整理得，
∵，
∴当，即时，h取得最大值．
8. （2024四川凉山）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．

（1）求证：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明；
（2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点N作于点F，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：

即，
∴在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…