(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题设：
当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立.
当与的夹角为锐角时，，解得.
故必要性成立.
故选：B.
例题2．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，与的夹角为．若为锐角，则的取值范围是__．
【答案】且
【详解】，且为锐角，
所以，解得，
又当时，，夹角，不成立，
所以且，
故答案为：且.
例题4．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知向量，．
(1)若，求的值
(2)若与的夹角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)依题意，，，因，即，
于是得，解得，
所以的值是.
(2)因为与的夹角为钝角，则，且与不共线，
由得：，解得，当与共线时，，解得，于是得且，
所以的取值范围是.
题型归类练
1．（2021·全国·高一课时练习）命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，
当时，向量与向量的夹角可能为，
所以命题是命题的充分不必要条件，
故选：A
2．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．
【答案】且
【详解】由题意得，
向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线，
则 ，且 ，
故 ，且 ，
解得且，
故答案为：且
3．（2022·陕西师大附中高一期中）已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.
【答案】且
【详解】由于与夹角为钝角，所以，
解得且.
所以的取值范围是且.
故答案为：且
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】由已知且、不共线，则，解得且.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，即，又，所以．
所以．
因为，
所以．
故选：A．
例题2．（2022·浙江杭州·高一期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
例题3．（2022·重庆·酉阳土家族苗族自治县第三中学校高一阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】解：以，为邻边作平行四边形，设，，
则，
由题意，设，
，
在中，由正弦定理可得，，
，
即的最大值为6.
故选：C．
例题4．（2022·北京·临川学校高一期中）在中，，且，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】，
当时，，
所以.
故答案为：.
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）若向量，不共线，且，，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】设向量，的夹角为，因为，，所以，又向量，不共线，所以，所以，即.
故答案为：.
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知圆C：，点A，B在圆C上，且，O为原点，则的最大值为______.
【答案】##
【详解】取AB中点D，则，当最大时，最大，
由于已知圆C可化为，，∴.
所以D在以为圆心，半径为的圆上运动，，最大值为.
故答案为：.
3．（2022·全国·高一）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．
【答案】##
【详解】
则
（当且仅当与方向相反时等号成立）
故答案为：
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
典型例题
例题1．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，其中，
则，从而，
故
，
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【详解】如图所示：
因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以.
故选：A
例题3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）在中，，，，为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．［0，3]B．［1，3]C．［6，9]D．［3，9]
【答案】D
【详解】依题意，
由于是边上的动点，所以，
所以，即，
所以.
故选：D
例题4．（2022·陕西汉中·高一期末）在中，，点为边的中点，点在边上运动，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系：,
直线方程为，即，点P在边BC上，所以设，
故，因此，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·宁夏·北方民族大学附属中学高三阶段练习（理））已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以点为圆心，以分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
，，，
圆的半径为，设，
，，
，
当时，取最小值，当时取最大值4
故选：C
2．（多选）（2022·湖南师大附中高二开学考试）如图，在中，已知，点为的三等分点（靠近点），则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】由，可得，
则
，
结合选项，可得可能的取值为或.
故选：AB.
3．（2022·上海交大附中高二阶段练习）边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.
【答案】##5.75
【详解】由于,
所以,
设，
则，
当时，取最小值，且最小值为，
故答案为：
4．（2022·北京延庆·高一期末）已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由条件可知，，
所以

，,
所以
所以的取值范围是，
故答案为：
5．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．
【答案】，最大值为．
【详解】如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，其中，则，所以，
又由，所以，而，
所以的最大值为．
故答案为：； .
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知向量，函数.
(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；
(2)若，求的值域.
【答案】(1)最小正周期，对称轴方程为，
(2)
（1）解：因为，且，
所以
，
即，
的最小正周期，
令，，解得，，
即图象的对称轴方程为，.
（2）解：，，
，
所以.
例题2．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知向量，，若函数，且函数的周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，试判断的形状．
【答案】(1)；
(2)等边三角形．
（1），
∵，，∴，∴；
（2）由正弦定理得，因为，所以，
所以有，
即，
又因为，所以，即，得，
即，即．
由，，
因为，所以，因此，
解得，∴是等边三角形．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，函数.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
（1）解：；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
题型归类练
1．（2022·甘肃武威·高一期末）已知的内角、、所对的边分别为、、，向量，，且．
(1)求角；
(2)若，的面积为，求、．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为，则，由正弦定理可得，
、，，，，故.
(2)解：由余弦定理可得，即，①
由三角形的面积公式可得，可得，②
联立①②可得.
2．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期末（文））已知，，．
(1)求的值 ．
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)3
(2)最大值为3，最小值为
（1）解：由题意得，，当时，
（2）当时，令时，在上单调递增.函数在区间上的最大值为，最小值为.
3．（2022·江西·景德镇一中高一期末）设向量，，令，的最小正周期为.
(1)求的最小值，并写出此时的取值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)-2，，
(2)
(1)
,故

,此时 ，
(2) 恒成立
，所以