(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 对数与对数函数 (高频考点-精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算；
高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念；
高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
③(其中，，均大于0且不等于1，).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
由题意得，，
解得，即函数的定义域是.
故选：D
2．（2022·贵州·高二学业考试）（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
解：.
故选：D
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）化简___________.
【答案】
原式.
故答案为：.
4．（2022·云南红河·高一期末）方程的解是_________．
【答案】
由对数的运算性质，可得，可得，解得．
故答案为：.
5．（2022·四川甘孜·高二期末（文））设函数​， 则​_________.
【答案】
由已知可得，则.
故答案为：.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：对数的运算；
典型例题
例题1．（2022·天津·高考真题）化简____________
【答案】2
原式
，
故答案为：2.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）___．
【答案】
＝9
．
故答案为：102.
题型归类练
1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（理））计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
（1）解：=====；
（2）解：==.
2．（2022·全国·高一专题练习）求值
【答案】0
原式
.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
.
故选：B
例题2．（2022·河南·高二期末（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，因为，所以，
因为，所以，所以.
故选:B.
例题3．（2022·福建·福州三中高一期末）若，则___________.
【答案】##
解：因为，所以，即，即，
所以；
故答案为：
题型归类练
1．（2022·山东青岛·高二期末）______．（用数字作答）
【答案】1
.
故答案为：1
2．（2022·天津南开·高二期末）计算：_____
【答案】##2.5

；
故答案为： .
高频考点三：对数函数的概念；
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A．B．
C．或D．不确定
【答案】A
设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
故选：A．
题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝lg2(x＋1)．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
形如（且）的函数为对数函数，
故③④为对数函数，
所以共有个.
故选：B
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由题意知，，解得，则函数的定义域为.
故选：C.
例题2．（2022·福建福州·高二期末）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意，，．
故选：D．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是________．
【答案】
函数的解析式有意义，
由，即，所以或，
故该函数的定义域为．
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.
故答案为：.
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；
典型例题
例题1．（2022·福建省连城县第一中学高一阶段练习）函数，其中，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，
在上递增，
所以.
故选：C
例题2．（2022·浙江·高一单元测试）已知，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
函数在上单调递增
所以，即
所以函数的值域为
故选：B
②求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，
，
，
∴函数的值域为.
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
(1)，．
函数的值域为．
(2)设，则，．
又在上为减函数，．
函数的值域为．
③根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数的值域为，则实数的值为（ ）
A．2B．3C．9D．27
【答案】C
解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为函数的值域为，
可得真数部分取到所有的正数，
即函数取到所有的正数，
所以是函数的值域的子集，
所以解得：或，
所以实数的取值范围是：.
故选：A.
题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A．B．[﹣，2]C．[0，2]D．[0，]
【答案】A
函数是减函数，
所以函数的最小值为：，
函数的最大值为：．
函数的值域为：．
故选：A
2．（2022·广西钦州·高一期末）若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意，函数的值域为，
根据对数函数的性质，可得转化为的值域能取到内的任意实数，
当，则，函数的值域为，满足题意；
当，要使得的值域能取到内的任意实数，则满足，解得，
综上可得，实数的范围为.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是______.
【答案】
解：因为，，而函数在上的值域为，
所以结合函数的图像，可得的取值范围是.
6．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域.
【答案】
为增函数，，，
所以函数的值域为.
7．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域.
【答案】
令，
又为增函数，，
所以函数的值域为.
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高一开学考试）函数与函数且的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，
当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项；
当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B.
故选：B.
例题2．（2022·江西·模拟预测（理））函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
②根据对数（型）函数的图象判断参数范围
典型例题
例题．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
例题2．（多选）（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此，
故选：BD．
③对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数(且)的图象恒过定点_________
【答案】
解：因为函数(且)，
令，解得，所以，即函数恒过点；
故答案为：
例题2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）函数（且）恒过定点，则＝______．
【答案】2
由题意知：恒成立，解得.
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）函数的图象大致（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为，根据对数函数的图象可得A正确.
故选：A.
2．（2022·新疆喀什·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
是定义域为R的增函数，
：-x>0，则x1，所以在定义域上单调递增，
所以，即，所以.
故选：D
例题2．（2022·全国·高一）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)；(2)非奇非偶函数；(3).
(1)要使函数有意义：则有，解之得：，
则函数的定义域为.
(2)因为的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
(3)因为
∵，∴，
∵，∴，
即，由，得，
∴
题型归类练
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数且，若时，求在区间的值域；
【答案】
由题意，
利用对数函数的性质，在区间单调递增
故当
当
故函数在区间的值域为
3．（2022·广东茂名·高一期末）已知．
(1)设，求t的最大值与最小值；
(2)求的值域．
【答案】(1)，；(2)[3，4].
(1)因为函数在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当时，，
当时，．
(2)令，则，
由（1）得，因为函数在上是单调增函数，
所以当，即时，；当，即时，，
故的值域为.
4．（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知（其中且）．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
即有，
所以解得，
故实数的取值范围是；
(2)因为，则时，．
当时，则函数最大值，解得；
当时，则函数最大值，解得；
综上所述，的取值范围是．
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数