(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第05讲 空间向量及其应用 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：空间向量的线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
角度2：利用数量积求长度
角度3：利用数量积求夹角
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
角度5：向量的投影和投影向量
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
知识点二：空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0