(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 平面向量的数量积 (高频考点—精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则( )
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【详解】﹒
故选：B．
2．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】解：，，
在方向上的投影为，
在方向上的投影向量为,
则在上的投影向量的模为．
故选：C．
3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【详解】由两边平方得，
，
，
解得.
故选：D
4．（2022·四川绵阳·高一期末）已知平面向量满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】由得，
由得，即
故选：B
5．（2022·安徽·高三开学考试）已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【详解】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故选：B.
6．（2022·湖南·长沙市平高高级中学有限公司高二阶段练习）已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】C
【详解】解：由题得
.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
8．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可设，由可知，
所以，
所以，
∵，
∴，即.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·高一期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】BC
【详解】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
10．（2022·重庆市铜梁区教师进修学校高一期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】BC
【详解】由题意：
因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，
所以，所以，
故选：BC．
三、填空题
11．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知向量，且，则实数_____________．
【答案】2
【详解】因为，又，
所以，
解得．
故答案为：2.
12．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.
【答案】##0.25
【详解】因为，所以，展开整理化简得：.
所以.
即与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知向量．
(1)若单位向量与共线，求向量的坐标；
(2)若与垂直，求的值．
【答案】(1)或(2)
（1）因为两向量共线，是单位向量，所以设，得到解得或．
（2）因为与垂直，所以，即，解得．
14．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知向量=（，），，=（1，）.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)由题知，得，
又，
(2)由题知，得，
即.
B能力提升
15．（2022·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知， ，所以三角形ABD为等边三角形，则，又 ，所以，即为直角三角形，且 ，所以，所以 ；
（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以， 则 ，所以，
16．（2022·广东广州·高一期中）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)若，当得最小值时，求点的坐标及的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)最小值为，点的坐标为
（1）解：因为半圆的直径，所以，，
又，，
则，即．
（2）解：由（1）知，，
∴.
则，
又∵，∴，即与的夹角为.
（3）解：设，
由（1）知，，
故，
∴，
又∵，∴当时，有最小值为，
此时点的坐标为