(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第01讲 平面向量的概念及其线性运算 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
角度2：模
角度3：零向量与单位向量
角度4：相等向量
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
角度2：平面向量的数乘
高频考点三：共线向量定理的应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.
特别的：非零向量的单位向量是.
（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；
特别的：与任一向量平行或共线.
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.
2、向量的线性运算
2.1向量的加法
①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.
②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.2向量的减法
①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.
②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
2.3向量的数乘
向量数乘的定义:
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
3、共线向量定理
①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
4、常用结论
4.1中点公式的向量形式：
若为线段的中点，为平面内任意一点，则.
4.2三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念与表示
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
【答案】A
【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A
例题2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（文））下列说法正确的是( )
①有向线段三要素是始点、方向、长度；
②向量两要素是大小和方向；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④在平行四边形中，．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】D
【详解】①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长度，故①正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确；
③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，故，故④正确．
故选：D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量有三种关系
D．向量的模是一个正实数
【答案】B
【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确；
由向量共线的定义可知，选项B正确；
由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确；
零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确.
故选：B
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
2．（2022·浙江·杭州四中高一期中）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【详解】解：时，方向未知，不成立，A错误；
向量不能比较大小，B错误；
表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确；
表示向量方向相同或相反，不能得到，D错误.
故选：C.
角度2：模
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知、为非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．即非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】由题意知，
充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；
必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.
因此，“”是“”充分而不必要条件.
故选：A.
例题2．（2022·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）在矩形中，，，则（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】D
【详解】
由题意 ， ；
故选：D.
例题3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.
（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
题型归类练
1．（2022·全国·高一课前预习）已知，，且，求.
【答案】10
【详解】解：
以与为邻边，构造平行四边形，如图所示：
则和分别是该四边形的两条对角线，因为，即该平行
四边形的对角线相等，故该四边形为长方形，所以.
2．（2022·广东·雷州市白沙中学高一阶段练习）已知菱形的边长为2，
(1)化简向量；
(2)求向量的模.
【答案】(1)
(2)2
(1)
(2)由向量的平行四边形法则与三角形法则，
3．（2022·全国·高一专题练习）若、为相反向量，且，，则________，________.
【答案】
【详解】因为、为相反向量，且，，则，，
因此，，.
故答案为：；.
角度3：零向量与单位向量
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；
对②：零向量的长度为0，故②正确；
对③：零向量的方向是任意的，故③正确；
对④：单位向量的模都等于1，故④正确.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一课前预习）在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④
C．①②⑤D．①③⑤
【答案】D
【详解】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.
题型归类练
1．（多选）（2022·全国·高二）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】依题意，是两个单位向量，
单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.
单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.
当时，，所以C选项结论错误.
故选：AC
2．（2022·江苏·高一课时练习）若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：
（1）；（2）∥；（3）||＞0；（4）||＝±1；
（5）若是与同向的单位向量，则＝.
其中正确的是________.(填序号)
【答案】（3）
【详解】由题意知，，
对（1），当时，，不一定有，故(1)错误；
对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；
对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；
对（4），向量的模非负，故(4)错误；
对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误.
综上可知（3）正确.
故答案：（3）
角度4：相等向量
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【详解】由，可得四边形ABCD是平行四边形．
由，，
所以，所以四边形ABCD为菱形．
故选：C
例题2．（2022·北京朝阳·高一期末）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
例题3．（2022·福建省福州高级中学高二阶段练习）如图，在正六边形中，与向量相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；
故选：B
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，为边的延长线上一点，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
故选：A.
3．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，.
故选：B.
高频考点二：向量的线性运算
角度1：平面向量的加法与减法
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，由题意得：，可以得到
故选：A
例题2．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）化简得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C
例题3．（2022·甘肃兰州·高一期末）（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】．
故选：B.
题型归类练
1．（多选）（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，
所以,且，，且，
所以，，
所以，
故选：BCD.
2．（2022·甘肃兰州·高一期末）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________．
【答案】
【详解】如图所示，
，
所
故答案为：
3．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）化简__________．
【答案】
【详解】
角度2：平面向量的数乘
典型例题
例题1．（2022·四川泸州·高一期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】在平行四边形中，，所以．
故选：B．
例题2．（2022·浙江台州·高一期末）的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，.
故选：B.
例题3．（2022·贵州·模拟预测（理））在中，，且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：B.
题型归类练
1．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练习）如图，在中，D为上一点，且，设，则用和表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题得.
故选：A
2．（2022·贵州·罗甸县第一中学高二开学考试）求__________．
【答案】
【详解】解：
；
故答案为：
3．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一阶段练习）已知则使得的实数___________.
【答案】
【详解】，则在线段上，且，所以，又，
所以．
故答案为：．
高频考点三：共线向量定理的应用
典型例题
例题1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为三点共线，所以设，
即，整理得：，
因为，所以，解得：
故选：C
例题2．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，
使得．
故选：A．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.
【答案】
【详解】由题意知，与共线，
∴存在实数，使.
∵，不共线，
∴解得或，
∵与反向，
∴，.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，故，
因为三点共线，故，解得：.
故选：C
2．（2022·安徽·亳州二中高一期末）设向量不共线，向量与同方向，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由向量共线定理得
存在一个实数使成立，即
则，解得或，
又因为向量与同方向，所以，
即，
故选：.
3．（2022·江苏常州·高一期中）设为两个不共线的向量，，若A.B.D三点共线，则k的值为_________.
【答案】3
【详解】∵，
因为A，B，D三点共线，所以，
故存在唯一实数，使得，
即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.