(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
2．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
【答案】C
【详解】依题意，，
设直线与所成角为，，所以.
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为平面，平面，故，
底面ABCD为长方形，故，所以DP，DC，DA两两互相垂直，
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，，
所以，，
设异面直线AC与BQ所成的角为，则，
所以异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为．
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因为平面，平面，
所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，
，，，
设平面的法向量为，
所以有，
设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B
5．（2022·云南丽江·高二期末（理））正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.
有图知，
由题得、、、.
，，.
设平面的一个法向量，
则，，
令，得，，
.
设直线与平面所成的角为，则.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则，，，
∴，
设平面A1ED的法向量为，
则有 令得：，
∴.
∵平面ABCD的法向量为，
∴，则，
故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.
故选：B
7．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，二面角的正切值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，易求得平面的一个法向量为，平面ACD的一个法向量为，所以，且二面角是锐二面角，所以正弦值为：，
正切值为：．
故选：D
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是
A．是正三棱锥
B．直线∥平面ACD
C．直线与所成的角是
D．二面角为.
【答案】B
【详解】试题分析：由正四面体的性质知是等边三角形，且两两垂直，所以A正确；借助正方体思考，把正四面体放入正方体，很显然直线与平面不平行，B错误.
二、多选题
9．（2022·全国·高二单元测试）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】AD
【详解】，故，A正确；
不是单位向量，且与不共线，B错误；
，C错误；
设，则，，
所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：AD
10．（2022·广东·湛江市第四中学高二阶段练习）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
二面角的大小可能为或.
故选：BC.
三、填空题
11．（2022·山东青岛·高一期末）在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
则有，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
所以，
故答案为：.
12．（2022·全国·高一课时练习）在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于_________.
【答案】
【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且，
所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,
设，则
，
所以，
所以 ，
因为异面直线所成的角在，
所以异面直线与所成的角等于，
故答案为：
四、解答题
13．（2021·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，， 底面， ，M为的中点，N为BC的中点.
（1）证明：直线MN//面OCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离．
【答案】（1）证明：见解析；（2）；（3）.
【详解】
过A作交CD于点P.如图示，分别以为x、y、z轴正方向建立坐标系，则，，，，，，.
（1），，.
设平面OCD的法向量为，则.
不妨取，解得：.
因为，直线面OCD
所以MN//面OCD.
（2）设直线AB与MD所成角为，则.
因为，，
所以，
所以，即直线AB与MD所成角为.
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，
由， 得.
所以点B到平面OCD的距离为.
14．（2021·福建·莆田锦江中学高二期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cs＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cs＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
B能力提升
15．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DD1､BB1的中点.
(1)证明：直线CF//平面；
(2)若该正方体的棱长为4，试问：底面ABCD上是否存在一点P，使得PD1⊥平面A1EC1，若存在，求出线段DP的长度，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)详见解析
(2)存在，
(1)
如图，取的中点G，连接GD，GF，则，
则由正方体的性质可得，
∴，
所以四边形GFCD为平行四边形，
∴，又，
∴，又平面，平面，
∴CF//平面
(2)
如图建立空间直角坐标系，假设在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，设，则，
∴，
由得，，
即，解得，即，
∴，，
故在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，线段DP的长度为.
16．（2021·北京二中高二期末）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.
(1)求证：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值
(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
（1）
因为，平面，平面，
所以平面，同理，平面，
又，所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
（2）
因为平面平面，
平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，故.
而四边形时正方形，所以又，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直
角坐标系.设，则，，，
，，取平面的一个法向量，设
平面的一个法向量，则，即，
令，则，所以.设平面与平面
所成锐二面角的大小为，则.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
（3）
若与重合，则平面的一个法向量，
由（2）知平面的一个法向量，则，
则此时平面与平面不垂直.若与不重合，
如图设，则，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，，
所以，若平面平面等价于，
即，
所以.所以，线段上存在点使平面平面，且.