新高考数学一轮复习第7章 第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (练）（2份打包，原卷版+教师版）

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一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则这个二面角的平面角的大小为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．以上都不对
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点E是上底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，PA，PB，PC互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体 SKIPIF 1 < 0 棱长为2， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是四边形 SKIPIF 1 < 0 内一点（包含边界），且 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，当二面角 SKIPIF 1 < 0 处于 SKIPIF 1 < 0 过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（含端点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值是 SKIPIF 1 < 0
D．当点 SKIPIF 1 < 0 自 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 处运动时，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角先变小后变大
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为___________.
12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中，点Р在侧面 SKIPIF 1 < 0 (包括边界)上运动，满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 记直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____________
四、解答题
13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示， SKIPIF 1 < 0 是棱长为1的正方体.
(1)设 SKIPIF 1 < 0 的重心为O，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设E､F分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，M为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，若异面直线 SKIPIF 1 < 0 与EF所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值.
14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图， SKIPIF 1 < 0 垂直于梯形 SKIPIF 1 < 0 所在平面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，说明理由．
B能力提升
1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为面对角线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
B．线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．异面直线AP与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．沿直线AC将 SKIPIF 1 < 0 翻折成 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________；当平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABC时，则异面直线AC与 SKIPIF 1 < 0 所成角余弦值是___________．
4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为____________；当 SKIPIF 1 < 0 时，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为__________．
C综合素养
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 中点时，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△ SKIPIF 1 < 0 边长为 SKIPIF 1 < 0 ，△BCD中，BD=CD=1，BC= SKIPIF 1 < 0 (如图1所示)，现将B与 SKIPIF 1 < 0 ，C与 SKIPIF 1 < 0 重合，将△ SKIPIF 1 < 0 向上折起，使得AD= SKIPIF 1 < 0 (如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成 SKIPIF 1 < 0 角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，M为线段PC的中点， SKIPIF 1 < 0 ，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．沿 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如图2所示的五棱锥 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)在翻折过程中是否总有平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 余弦值的绝对值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，请说明理由．