(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第08讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】D
【详解】对于A，B，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误，
对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，
对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，
故选：D
2．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
又，所以．
故选：D
3．（2022·江西宜春·高一期末）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．
故选：C．
4．（2022·湖南· 邵东市第一中学高一阶段练习）已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【详解】对于A选项，，，则或，故A错误；
对于B选项，，，则或或与斜交，故B错误；
对于C选项，，，则或，故C错误；
对于D选项，，，根据面面平行，可证得线面平行，即
故选：D.
5．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知，，如果与为共线向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为与为共线向量，
所以，
故选：D
6．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，
所以，
整理得：，
又由题知，
由空间向量的基本定理知：
解得
所以.
故选：C.
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设，由，则，，
所以，，，，，
因为为的中点，所以，
，，
所以，
所以，即异面直线与所成角的为.
故选：D.
8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．存在点，使
B．异面直线与所成的角最小值为
C．无论点在线段的什么位置，都有
D．无论点在线段的什么位置，都有平面
【答案】B
【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，所以，即，故A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
设，则，，
所以，，当且仅当，即点是线段中点时，等号成立，
所以异面直线与所成的角的余弦值，
所以的最小值小于，故B不正确；
对于C，结合B选项的讨论，，，则，所以，故C正确；
对于D，在正方体中，有，
因为平面，平面
所以，平面，平面，
因为，平面，
所以平面平面
因为平面，所以，故D正确.
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏·高一课时练习）如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A选项，由下图可知，平面，平面，所以平面，A正确.
对于B选项，设是的中点，由下图，结合正方体的性质可知，，所以六点共面，B错误.
对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知，由于平面，所以平面.所以C错误.
对于D选项，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.
故选：AD
10．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
【答案】ABD
【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；
对于C，，故，可得l在α内或，C错误；
对于D，，易知，故，故，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】CD
【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设
所以，，
设为平面的法向量，
则有： ，令，可得，
则点到平面的距离为，
因为，所以距离的范围是.
故选：CD.
12．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．直线AB1和直线BC1相互垂直D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为
【答案】ABD
【详解】A：
，
又，∴.
B：∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴.
对于C、D：，
，
所以D正确，C错误，
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知向量则在上的投影向量的模为___________.
【答案】
【详解】因为，，
所以；
所以向量在向量上的投影向量的模．
故答案为：．
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
【答案】平行
【详解】因为是正方体，且棱长为，
故以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示：
则，
由题可知，设点坐标为，
则，故可得，即；
，设点坐标为，
则，故可得，即；
故所在的方向向量为，
又平面的一个法向量，
故，故直线//面.
故答案为：平行.
15．（2022·北京·101中学高二阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；
②；
③.
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
【答案】若，则；若，则.
【详解】如图,建立空间直角坐标系
则
设,则
而
所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:
若,则
若,则
答案任填其中一个即可
故答案为:若,则(若,则)
16．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）在长方体中，已知，E、F分别为、的中点，则三棱锥的外接球半径为______，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为______．
【答案】 ##
【详解】解：以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则即；
设为中点，因为，，则，
所以点为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径为，
设球心到平面的距离为，又因为为中点，
所以点到平面的距离为，
由于，所以，
故截面圆的半径为，所以截面圆面积为，
故答案为：；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知，.
（1）若，分别求与的值；
（2）若，且与垂直，求.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由得：，即，解得：；
（2），，
又，，即，
由得：，.
18．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，
由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，
因为EO1⊂平面B1D1E，A1C⊄平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），
∴，，∴，
设是面B1ED1的法向量⇒，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，
设B1D与面B1ED1所成角为θ，
，
∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.
【答案】（1） ；（2）.
【详解】（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，
圆锥的体积
；
（2），OA，OB是底面半径，且，
M为线段AB的中点，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
0，，0，，2，，
1，，0，，
1，，2，，
设异面直线PM与OB所成的角为，
则.
异面直线PM与OB所成的角的余弦值为.
20．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析
(2)
（1）
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，
，0，，，2，，
设平面的法向量为，
则,即，令，则
因为，，所以
平面．
（2）
,,
设点到平面的距离为，所以
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
为AD中点，
，
平面BDE，平面BDE，
平面BDE.
为BC中点，
，
又D、E分别为AP、PC的中点，
，则.
平面BDE，平面BDE，
平面BDE.
又，平面MFN，平面MFN，
平面平面BDE，又平面MFN，
则平面BDE；
（2）底面ABC，.
以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
，，
0，，0，，4，，0，，2，，2，，
则，，
设平面MEN的一个法向量为，
由，得
取，得.
由图可得平面CME的一个法向量为.
.
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为，则正弦值为；
（3）设，则0，，，.
直线NH与直线BE所成角的余弦值为，
.
解得：.
当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.
22．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)存在，且.
（1）
过作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，， ，，，
为的中点，，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，解得：.
，即，
又平面，所以平面．
（2）
设平面的一个法向量为，，，
所以，令，解得.
所以.
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（3）
假设线段上存在一点，设，，.
，，则
又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量
，
化简得，即，
，，故存在，且.