(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，直线与所成角的余弦值为______．
例题4．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________．
题型归类练
1．（2022·山东·高密三中高二阶段练习）在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．
4．（2022·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线与所成角．
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·云南丽江·高二期末（理））正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，，求直线与平面所成角的正弦值．
例题3．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知单位正方体，，分别是棱和的中点，试求与平面所成角的正弦值．
例题4．（2022·北京八十中高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面为线段上的一点.
(1)求证：；
(2)若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小.
例题5．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为上一点，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
题型归类练
1．（2022·广东实验中学附属江门学校高二开学考试）在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山西·浑源县第七中学校高二阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点是的中点，，.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成的角.
3．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二开学考试）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的大小．
4．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点.
(1)求证：PA//平面BMD；
(2)当PA＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在如图的正方体中，，点是侧面内的动点，满足，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为_________.
题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·福建·泉州五中高二期中）直三棱柱中，，，点为线段的中点，若点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______.
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知四边形，,均为正方形，且边长为1，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点，分别为，的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
例题4．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为______.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，．
(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；
(2)若，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．
3．（2022·重庆·高三阶段练习）如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形.
(1)证明：平面EBD；
(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
4．（2022·重庆南开中学模拟预测）在三棱柱中，，平面平面，E，F分别为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，且，求三棱锥的体积．
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，，且，若，，则二面角的余弦值为______．
例题3．（2022·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
例题4．（2022·福建泉州·高二期末）在四棱锥中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
题型归类练
1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．
3．（2022·四川乐山·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，平面平面.
(1)判断与的位置关系并给予证明；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
4．（2022·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.
(1)求证：AC⊥BE：
(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点.
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
例题2．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且．
(1)证明：底面．
(2)若，求二面角的余弦值的取值范围．
题型归类练
1．（2022·河南·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，.
(1)证明：为等腰三角形.
(2)若平面平面，求二面角的余弦值的取值范围.
2．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
(2)已知，为上的点且，，求与平面所成角的正弦值的最大值．
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点．
(1)证明：；
(2)当平面与平面所成角的余弦值为时，求线段的长度．
例题2．（2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．
(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，.
(1)求证：；
(2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长.
2．（2022·湖南·高二期末）如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）.
(1)当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；
(2)在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.