(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第06讲 双曲线 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
角度1：双曲线定义
角度2：利用双曲线定义求轨迹方程
角度3：利用双曲线定义解决焦点三角形问题
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
角度2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质
知识点三：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：双曲线的定义及其应用
角度1：双曲线定义
典型例题
例题1．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（ ）
A．B．10C．或10D．
【答案】B
【详解】由题知双曲线，
所以 ，
记左，右焦点分别为 ，
所以根据定义得 ，
因为,
所以或，
因为时，，即不满足题意，
所以，
故选B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（ ）
A．双曲线的右支B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【详解】错解：
当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支；
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支；
故选：A.
错因：
忽略了双曲线定义中2a＜|F1F2|这一条件.
正解：
依题意得，
当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；
当时，，故点P的轨迹为一条射线.
故选：D.
例题3．（2022·四川·石室中学高二阶段练习（理））双曲线 的左、右焦点分别为​点位于其左支上，则​（ ）
A．​B．​C．​D．​
【答案】D
【详解】由题意得，，，所以 .
故选：D.
例题4．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期中）设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为_____.
【答案】
【详解】将化为，
所以，，
由双曲线的定义，得：，
即，
所以或（舍）.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
2．（2022·浙江·桐乡市茅盾中学高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【详解】由双曲线方程知：；
根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知，，若点满足，则P点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线
【答案】D
【详解】已知，，点满足，且，即，可知点在线段的延长线上，
故P的轨迹方程为一条射线．
故选：D．
4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______．
【答案】6
【详解】由双曲线方程得，
由双曲线定义得，
故答案为：6．
角度2：利用双曲线定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
例题2．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高二单元测试）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
【答案】
【详解】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知定点和动点，为的中点，为坐标原点，且满足.求点的轨迹方程.
【答案】
【详解】如图，取连接，
，，
由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
， ，
所以点的轨迹方程为： .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二单元测试）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1
【答案】A
【详解】,则
根据双曲线定义知的轨迹为的左半支
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
【答案】.
【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程．
【答案】
【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为，
因为，所以，又因为，所以，
故双曲线的标准方程为.
角度3：利用双曲线定义解决焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2022·福建·永安市第九中学高二期中）设，是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【答案】C
【详解】设，，由双曲线的定义可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.
故选：C
例题2．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二单元测试）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
【答案】24
【详解】由双曲线定义知：，
所以，，而，
故，故的周长为.
故答案为：24
例题4．（2022·江苏· 高二期中）设双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，若，则______．
【答案】0
【详解】由题意得，，联立
，
因此，则．
故答案为：0.
例题5．（2022·江苏·高二课时练习）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且，求的面积．
【答案】
【详解】因为双曲线的方程为，所以可得，
因为，所以，
因为
所以，所以的面积为
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】设点，由双曲线可知、，
∵，∴，∴，
代入双曲线方程，∴，∴，∴，
∴到轴的距离是．
故选：B．
2．（2022·江苏泰州·高二期中）椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．
【答案】24
【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
由椭圆定义可知：，
故P与双曲线两焦点的距离之和为14，
又，
因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.
故答案为：24
3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
【答案】8
【详解】双曲线的实轴长
过左焦点交双曲线左支于A、B两点，
则，
又,
则
故答案为：8
4．（2022·河北·高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别是，，实轴长为4，过的直线与双曲C线的右支交于A，B两点，若是和的等差中项，则的周长为______．
【答案】24
【详解】解：由是和的等差中项得，
根据双曲线的定义知，，
两式相加得，即，，
故的周长为，因为，所以的周长为24．
故答案为：
5．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线的离心率，左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，若，则__________.
【答案】
【详解】由已知得，且，解得，
又双曲线的离心率，所以，即.
故答案为：.
题型二：双曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江西抚州·高二期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】依题意，，则或.
故选：A
例题2．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故选：B
例题3．（2022·北京市十一学校高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
例题4．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为焦距为，故半焦距为，故，
因为在一条渐近线上，故，解得，
故双曲线方程为：.
故选：B.
例题5．（2022·上海市控江中学高二期末）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【详解】设双曲线方程为，依题意有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
【答案】D
【详解】由题设，，可得.
故选：D
2．（2022·浙江·镇海中学高二期中）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以设所求双曲线方程为且，
双曲线的渐近线方程为，所以，即
联立，解得.
所以双曲线方程为.
故选：B.
3．（2022·山西临汾·二模（理））已知双曲线经过点，，则其标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【详解】设双曲线方程为
则，解的
所以双曲线的方程为
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，
所以设双曲线的方程为，半焦距为；
又因为是双曲线上一点且，
所以，即，则；
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
5．（2022·上海市控江中学高二期中）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】根据题意得，要使表示双曲线，只需要即可，
解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·高二期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【详解】由双曲线的离心率为，得，
所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即．
故选:A．
例题2．（2022·江苏·南京师大附中高二期中）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，
所以双曲线渐近线为.
故选：B
例题3．（2022·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线与直线分别相交于，两点，且线段的长等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：双曲线的两条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为
又两条渐近线与直线分别相交于A，B两点，所以
则，所以，故渐近线方程为.
故选：B.
例题4．（2022·辽宁·鞍山一中高二期中）双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程可设为，
当时，得到双曲线方程为，显然该双曲线与双曲线有共同的渐近线但离心率不同，
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·安徽·蒙城第一中学高二期中）已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ）
A．7B．14C．D．
【答案】B
【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.
故选：B
2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】右焦点为，则，
过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则，，
，
双曲线方程为．
故选：B．
3．（2022·江苏省仪征中学高二期中）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的标准方程为
C．的渐近线方程为
D．直线经过的一个焦点
【答案】ABD
【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
则，解得：，
则，解得：，
所以的离心率为，A正确；
的标准方程为，B正确；
的渐近线方程为，C错误；
在直线上，故经过的一个焦点，D正确.
故选：ABD
4．（2022·陕西西安·模拟预测（文））若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．
【答案】9
【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上，
所以 即
解得
故答案为：9.
角度2：离心率
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，＋∞）D．[ ，＋∞）
【答案】C
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
例题2．（2022·浙江·镇海中学高二期中）设，是双曲线：的两个焦点，双曲线与以为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．13D．
【答案】D
【详解】∵，又由双曲线定义可知，
所以，
∵P在以为直径的圆上，则，
由，得，
故，所以.
故选：D．
例题3．（2022·江西抚州·高二期中）已知双曲线：的左焦点为，直线过原点且与双曲线交于，两点，若直线与直线：相互垂直，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】取双曲线的右焦点为，连接，作图如下：
因为，易知四边形为矩形，
又直线的斜率，则，故△为等边三角形，则；
在△中，，
结合双曲线的定义可得，解得.
故选：C.
例题4．（2022·甘肃·兰州五十一中高三期中（理））过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【详解】双曲线的渐近线为，由题意得，
则，
故答案为：
例题5．（2022·湖北·高三期中）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，则该双曲线的离心率的取值范围为_______________.
【答案】
【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，
由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，
则，
因此，，又，
所以，该双曲线的离心率为取值范围是.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知双曲线的右焦点为，点是其渐近线上的一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【详解】由题可知，双曲线渐近线为，
则右焦点到渐近线距离为，
所以，
故选：A．
2．（2022·山东德州·高二期中）已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为为双曲线上点，
所以，解得或（舍），
所以双曲线的方程为，所以，
所以，解得或（舍），
所以该双曲线的离心率为.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为______.
【答案】2或
【详解】若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为，则渐近线的方程为，
∴由题意可得，
∴.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为，则渐近线的方程为，
∴由题意可得
∴
∴综述：或.
故答案为：或.
4．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是的右焦点，延长分别交于两点，已知，且，则的离心率为______．
【答案】
【详解】设双曲线的左焦点为 ，由对称性知是的中点，则四边形是平行四边形，
因为，
所以四边形是矩形，
设，则，则，
所以在直角 中，，
所以 ，解得： 或（舍去），
所以 ,
因为在直角 中，
所以，得 ，
解得.
故答案为：
5．（2022·四川·广安二中高二期中（理））已知点为双曲线的左支上一点，为坐标原点，为双曲线的左，右焦点．且，则双曲线的离心率为______．
【答案】##
【详解】由题意得，则，
而，，则，
由，得，
故答案为：
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：
由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．5C．8D．4
【答案】A
【详解】设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
故选：A.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左､右焦点分别为､，点､分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则取得最小值为___________.
【答案】##
【详解】依题意，，，
不妨取其中一条渐近线为，由双曲线的定义知，，
，则，
当､､三点共线时且垂直于渐近线时，取得最小值.
此时，到渐近线的距离为，最小值为：.
故答案为：.
例题5．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 9
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【详解】解：由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5B．C．10D．14
【答案】D
【详解】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而可知，
由双曲线定义可知，即，
所以周长，
要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，且最小值是，
因此，周长为.
故选:D
3．（2022·全国·高二单元测试）已知定点，且，动点满足，则的最小值是___________.
【答案】6
【详解】因为动点满足，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则，即，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为，
左焦点为，右焦点为，
设，则，
所以，
所以的最小值是6，
故答案为：6
4．（2022·山东省桓台第二中学高二期中）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
【答案】9
【详解】，，，则
故双曲线的两个焦点为，，
，也分别是两个圆的圆心，半径分别为，
所以，
则
，
故答案为：9
5．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为_____________.
【答案】
【详解】解：双曲线中，
，，，
，，
因为分别是圆和 上的点，所以，
，
，，
，
所以
故答案为：．
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
间的关系