(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第04讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (高频考点，精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．当时，函数的零点的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：由导函数的图象可知，函数在上为增函数，在上为减函数，且函数在和取得极大值，在取得极小值，
则的大致图象如图所示，
由图可知，当时，函数的图象与直线的有4个交点，
故选：D
2．若关于的方程有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得（），令，
所以关于的方程有且只有2个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，
由，得，
当时，，当，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以当时，函数的图像与直线有两个交点，
所以a的取值范围是，
故选：D
3．已知函数有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：令函数，则有，令，则．
，当时，，单调递减，当时，，单调递增．当时，取得最小值，且，显然，当时，恒成立．由此可以画出函数的大致图象，如图所示，由图象可得，要使函数有且仅有两个不同的零点，只需，即．
故选：D．
4．若函数与图象恰有一个公共点，则实数a不可能取值为（ ）
A．2B．0C．1D．
【答案】A
【详解】解：函数的导数为；
所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；
当时，函数与的图象恰有一个公共点；所以，.
所以选项A不符合题意，选项BCD符合题意.
故选：A.
5．若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．[0,2]
C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，方程在[0,2]上有解，则，x∈[0,2]，
令，x∈[0,2]，则，令，解得x>1，
因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
又x=1时，；x=2时，y=2；x= 0，y= 0，
∴函数，x∈[0,2]的值域是，
故，∴.
故选：A.
6．方程恰有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，可得，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，
则当，函数取得极大值，
当，函数取得极小值，
要使得方程恰有三个不等的实根，
即函数与的图象有三个不同的交点，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B.
7．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由题设，且定义域为，
所以在上，在上，即在上递减，在上递增，
所以的极小值为，又，，
则在、上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
8．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．取决于a的值
【答案】C
【详解】解：函数，，
则，
函数的最小值即其极小值，
即有解，
当有一解时，
在的两侧都成立，此时是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，
因此有两解，即有两解，故有两个零点．
故选：C．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数是奇函数
C．函数有两个零点
D．曲线在原点处的切线方程为
【答案】AD
【详解】，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项A正确；
，所以函数不是奇函数，选项B错误；
当时，；当时，；当时，，又，画出函数的大致图象如图，可知函数只有一个零点，所以选项C错误；
易知，所以曲线在原点处的切线方程为，选项D正确.
故选：AD.
10．设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】BCD
【详解】
，
即函数在上单调递减，在上单调递增
当时，，，
则函数与的图象如下图所示
平移直线可知，函数与的交点个数可能为
则关于的方程的实数根的个数可能为
故选：BCD
三、填空题
11．函数有两个零点，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：由题知，与有两个交点，，
由得；由得，
在上单调递增，在上单调递减，
又，且当时，，函数图象如下所示：
所以；
故答案为：
12．函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数______.
【答案】2
【详解】求导得，由得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，当时，有极大值；当时，有极小值.
依题意可知或，又，所以.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数（）
(1)求在处的切线方程；
(2)当有3个零点时，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)，切点为.
，，
所以切线方程为：.
(2)，
令，解得，.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以的极大值为，极小值为.
因为有个零点时，所以，解得.
14．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）且，
∴当时，，递增；
当时：若时，，递减；当时，，递增；
∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；
（2）由（1）知：时才可能存在两个零点，且，
∴，可得.
B能力提升
1．若函数，当时，函数取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)对求导，得，
由题意，得 ,解得 ,
∴.
(2)由（1）可得,令，得或,
∴当时，；当时，；
当时，.
因此，当时，取得极大值；
当时，取得极小值,
函数的大致图象图如所示.:
要使方程有3个不同的实数根，
由图可知，实数k的取值范围是.
2．设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)定义域是，
，
或，
若，则，在上是增函数，
若，则在时，，时，，
的减区间是，增区间是；
若，则在时，，时，，
的减区间是，增区间是；
(2)由（1）时，，时，，
因此由题意，即，
设，
时，，恒成立，，
时，，，
所以的取值范围是．
－1
0
2
4
5
1
2
0
2
1