(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 等比数列及其前n项和 (高频考点—精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（ ）
A．860个B．1730个C．3072个D．3900个
【答案】C
【详解】由题设知，
该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且，公比．
由，，
得．
故选：C．
2．（2022·北京密云·高三期末）若数列满足，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，，且知数列是等比数列，公比q＝2，首项.
故，.
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．数列1，2，6，18，…
B．数列中，，
C．常数列，，…，，…
D．数列中，
【答案】D
【详解】对于A，，，故不是等比数列；
对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；
对于C，当时，不是等比数列；
对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．
故选：D．
4．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．32B．28C．48D．60
【答案】D
【详解】由可知公比，所以，
因此，
故选：D
5．（2022·天津·高二期末）已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【详解】∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．=2B．=2
C．=2+1D．=2+1
【答案】B
【详解】依题意， ，
即 是首项为2，公比为3的等比数列， ；
故选：B.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））观察下面数阵，



．．．．．．
则该数阵中第行，从左往右数的第个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由数阵特征知：每行数字的个数构成以为首项，为公比的等比数列，
则前六行数字个数之和为：，
则第行，从左往右数的第个数为自起的第个奇数，
所求数字为：.
故选：C.
8．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，若，，则（ ）．
A．31B．63C．123D．1023
【答案】A
【详解】因为数列中，若，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故选：A
二、多选题
9．（2022·广东·高三阶段练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】AD
【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，
所以，解得，
所以，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，
故选：AD
10．（2022·江苏·扬州江都区教育局高二阶段练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（ ）
A．S2019＜S2020
B．a2019a2021﹣1＜0
C．T2020是数列{Tn}中的最大值
D．数列{Tn}无最大值
【答案】AB
【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，
又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，
又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，
又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，
对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；
对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；
对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；
故选：AB
三、填空题
11．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，若，则________．
【答案】32
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：32
12．（2022·四川省德阳中学校高一期末）设正项等比数列的前项和为，且，则______
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
又数列是正项数列，所以，所以.
故答案为：
四、解答题
13．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
(1)设等差数列的公差为，
，成等比数列，
，解得
；
(2)由(1)得，，
，，
是首项为4，公比为4的等比数列，
.
14．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等比数列中，已知，．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前5项和．
【答案】(1)
(2)
(1)设数列的公比为q，
因为，，所以，所以，
所以；
(2)因为为等比数列且，
所以为等比数列，首项为且公比为，
所以.
B能力提升
15．（2022·江西南昌·模拟预测（文））已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
（1）设公差为，因为，，成等比数列，则，
即，即，
解得或（舍），
所以；
（2）
由题可知，，，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
16．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n项和为，且，.
(1)求通项公式；
(2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前n项和的最小值.
【答案】(1)或
(2)
(1)
解：设等比数列的公比为，由，，
所以，，解得或，
所以或.
(2)
解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时取得最小值，即；