新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练4-1 平面向量的概念及其线性运算 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc22112" 4-1 平面向量的概念及线性运算 PAGEREF _Tc22112 \h 1
\l "_Tc20520" 一、主干知识 PAGEREF _Tc20520 \h 1
\l "_Tc7545" 考点1：向量的有关概念 PAGEREF _Tc7545 \h 2
\l "_Tc19645" 考点2：向量的线性运算 PAGEREF _Tc19645 \h 2
\l "_Tc25530" 考点3：向量共线定理 PAGEREF _Tc25530 \h 2
\l "_Tc12570" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc12570 \h 2
\l "_Tc20453" 二、分类题型 PAGEREF _Tc20453 \h 3
\l "_Tc25841" 题型一 向量的基本概念 PAGEREF _Tc25841 \h 4
\l "_Tc32503" 题型二 平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc32503 \h 5
\l "_Tc23830" 命题点1 向量加、减法的几何意义 PAGEREF _Tc23830 \h 5
\l "_Tc22292" 命题点2 向量的线性运算 PAGEREF _Tc22292 \h 5
\l "_Tc8505" 命题点3 根据向量线性运算求参数 PAGEREF _Tc8505 \h 6
\l "_Tc31457" 题型三 共线定理及其应用 PAGEREF _Tc31457 \h 7
\l "_Tc25682" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc25682 \h 8
一、主干知识
考点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点2：向量的线性运算
考点3：向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【常用结论总结】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
二、分类题型
题型一 向量的基本概念
设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B
已知非零向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】由得，因此可知方向相反，且，对于A, ，由于与的关系不确定，故A错误，
对于B，由于，故B错误，对于C，，所以，故C错误，对于D，，故D正确，故选：D
给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【解答】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；对于C：，反向共线时，，故，C错误；选项D：,反向共线时，，故D正确．故选：AD．
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件，故选：C
设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【解答】因为，所以共线且方向相同，因为表示方向上的单位向量，
所以，而当时，可得共线且方向相同，但不一定是，
所以是成立的充分不必要条件，故选：B
*平面向量满足，则的取值范围为____.
【解答】预备定理：圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E，
则（，）则
又（，）则，又
则
由题意得，平面向量满足，令，
则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上，又，则向量两两夹角为，且为等边三角形，则；不妨设点D在A、B为端点的优弧上，由以上预备定理可得；又，则则；又点D在圆O上任意移动，则，则
故答案为：
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
△中，边上的点满足，，点在三角形内，满足，则的值为（ ）
A．B．3
C．6D．12
【解答】，故,所以,由是的重心，所以,因此
故选：C．
在中，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【解答】如图，延长至点，使得，延长至点，使得，
若，则，
，
所以，
则面积的最大值为1 .故选：C.
已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______
【解答】
解：如图，，，则，，
已知，即，所以，取BD的中点O，则有，而，根据三角形的三边关系可知
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，由，可得，
则，
当，即时取等号，所以，即的最小值是，
故答案为：.
已知向量满足，则的取值范围是__________．
【解答】∵∴
∴，即；
当且仅当与方向相同或与至少有一个为零向量时取等号，
，即.
当且仅当与方向相反或与至少有一个为零向量时取等号，
∴的取值范围是;故答案为：.
命题点2 向量的线性运算
已知的面积为，点满足，则的面积等于__________．
【解答】取的中点，．
，
∴，即共线． ．故答案为：．
已知，设，则实数____________.
【解答】根据条件，，∴．故答案为：2．
在中，是上的点，若，则实数的值为___________.
【解答】试题分析：因为，所以 ，即，所以 ，又因为三点共线，所以 .
在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________．
【解答】设，则=（1﹣k）+k．
=，∴故答案为：
命题点3 根据向量线性运算求参数
在中，已知，，与交于点O.若，则________.
【解答】因为，，所以，，又，
所以，，又与交于点O，所以，
所以，即，故答案为：.
如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．
【解答】解：由题可知，，设，
则，
所以，
而，
可得：，
所以，
设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
已知平面上四点满足，则________.
【解答】因为，故，
所以即.故答案为：.
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．
【解答】因，则，即，
于是得点在边上，并且，有，
所以与的面积之比为.故答案为：
*已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．
【解答】连接AG并延长，交BC于F，如图所示
由题意得，F为BC中点，
所以，
又G为重心，所以，
所以，即，
因为D、G、E三点共线，
所以，即.
设的边长为1，设与周长之比，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由题意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
令，则，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以与周长之比的取值范围为
如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
【解答】因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所以eq \(OC,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))共线，
设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
可得eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，因为A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．
题型三 共线定理及其应用
已知不共线，向量，，且，则_______．
【解答】因为，所以，使得成立，即.
因为不共线，所以，解得.故答案为：.
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________．
【解答】因为与共线，所以，
又是两个不共线的非零向量，所以，所以，
故答案为：.
已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________.
【解答】因为，，三点共线，故可得//，则存在非零实数，使得，
又，，故可得，又非零向量不共线，
故可得，解得.故答案为：.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•临汾模拟）已知为不共线的非零向量，，，，则
A．，，三点共线B．，、三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【解答】解：，，
不存在，使，
故，，三点不共线，
故选项错误；
，
，
，、三点共线，
故选项正确；
，，
不存在，使，
故，，三点不共线，
故选项错误；
，，
不存在，使，
故，，三点不共线，
故选项错误；
故选：．
2．（2023•大同模拟）在中，是边的中点，是的中点，若，则的值是
A．1B．C．D．
【解答】解：
故选：．
3．（2022•绵阳模拟）已知平面向量，不共线，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【解答】解：因为，，，
所以，
所以与共线，即、、三点共线．
故选：．
4．（2023•惠安县模拟）在正方形中，在上且有，与对角线交于，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图：
在正方形中，在上且有，与对角线交于，
，且，
，
可得，可得，
，
故选：．
5．（2023•防城港模拟）在中，为的中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：在中，为的中点，，
，
故选：．
6．（2023•兴庆区校级四模）已知、分别是的边，上的中线，且，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，．
，
解得．
故选：．
7．（2023•普宁市校级二模）设是单位向量，，，，则四边形
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【解答】解：，
四边形是平行四边形
又
四边形是菱形
故选：．
8．（2022•开封三模）在中，为的中点，，则
A．B．C．D．
【解答】解：中，为的中点，，
．
故选：．
9．（2021•道里区校级一模）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
10．（2020•海南）在中，是边上的中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：在中，是边上的中点，
则
．
故选：．
11．（2020•2月份模拟）如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则
A．B．C．D．
【解答】解：据题意，．
故选：．
12．（2023•简阳市校级模拟）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为 ．
【解答】解：根据题意，当时，最小，
由，
，
，即，
，
当时，由面积法得，，
所以的最小值为．
故答案为：．
13．（2023•叶县模拟）若，，且，则 ．
【解答】解：因为，
所以，
因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
14．（2023•重庆模拟）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 2 ．
【解答】解：与平行，设，
由向量与为一组基底，，解得：．
故的值为：2．
15．（2021•天津模拟）设向量，不平行，若向量与平行，则实数的值为 ．
【解答】解：向量与平行，
存在实数使得，
化为，
向量，不平行，
，
解得．
故答案为：．
1．（2021•海口模拟）设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，取的中点为，
，
，
，
、、三点共线且，
，
，
故选：．
2．（2020•重庆模拟）设点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为
A．3B．C．2D．
【解答】解：以、为邻边作平行四边形，连接交于点，
如图所示；
由，则，
，
的面积与的面积之比为
．
故选：．
3．（2017•宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：由，得，
即，
为外接圆的直径，如图所示；
设坐标原点为，
则，
是圆上的动点，
，
，
当与共线时，取得最大值7；
故选：．
4．（2016•河南一模）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
则
A．B．C．D．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
，；
，，，，
设，
则，，，
即，
解得，；
．
故选：．
5．（2016•一模拟）已知点是内一点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：延长，交于，画出图形，如图所示；
，
又，
，
；
又是的中点，
，
．
故选：．
6．（2015•江西一模）如图，在正六边形中，等于
A．B．C．D．
【解答】解：因为正六边形中，，，所以；
故选：．
7．（2022•重庆模拟）点在内部，满足，则 ．
【解答】解：根据题意，分别延长至，至，至，
使，，，如图所示：
由，得，
所以点是的重心，
所以，
设，则，，
所以．
故答案为：．
8．（2020•云南模拟）平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为 2 ．
【解答】解：，
；
又，
即，
所以，当且仅当，
即，时，
取得最大值2．
故答案为：2．
9．（2018•香坊区校级三模）在中，，且，（其中，，且，若，分别为线段，中点，则线段的最小值为 ．
【解答】解：连接、，如图所示；
等腰三角形中，，，
，
；
又是的中线，
同理，可得，
由此可得，
；
又，，
代入上式得；
又，，
当时，取得最小值为，
此时的最小值为．
故答案为：．
1．已知向量，，满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为，，则对任意，的最小值是
A．B．C．D．1
【解答】解：，
令则必在单位圆上，
又又向量满足，
令则点必在线段的中垂线上，
．
又
故点在以线段为直径的圆上，任取一点，记．
故就是圆的直径
显然，当点在线段的中点时，取最小值
即
故选：．
2．在所在平面上有一点，满足，则与面积之比是
A．B．C．D．
【解答】解：，
是三角形的重心，
到顶点的距离是到对边距离的2倍，
与底边相同，
与面积之比是
故选：．
3．非零向量若点关于所在直线的对称点为，则向量为
A．B．C．D．
【解答】解：如图由题意点关于所在直线的对称点为，
所以，
所以又由平行四边形法则知：，
且向量的方向与向量的方向相同，
由数量积的概念，向量在向量方向上的投影是，
又设与向量方向相同的单位向量为：，
所以向量
故选：．
4．已知向量的夹角为，，与共线，则的最小值为
A．B．C．D．1
【解答】解：根据与共线，
令
则
向量的夹角为，，
，
则的最小值为
故选：．
5．已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为，当取遍一切实数时，的取值范围是 ．
【解答】解：，，，
当时，
当时，，，三点共线）时，则当落在的中点上时，取最小值，
当，且时，当落在的外心上时，且最小时，有最小值
所在的直线与垂直，故落在直线上
若，则；
当时，
到点的距离等于到轴的距离的点的轨迹是抛物线：，
交直线于，，
，当时，取最小值，
故的取值范围是
故答案为：
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ