人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解习题

这是一份人教版 (2019)必修 第二册2 运动的合成与分解习题，文件包含人教版高中物理必修二同步题型训练专题52运动的合成与分解学生版docx、人教版高中物理必修二同步题型训练专题52运动的合成与分解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 知分运动求合运动】
\l "_Tc25206" 【题型2 渡河中对比问题】
\l "_Tc9103" 【题型3 渡河中的动态分析问题】
\l "_Tc6522" 【题型4 绳头速度问题】
\l "_Tc10925" 【题型5 杆头速度问题】
\l "_Tc2094" 【题型6 转化参考系问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 联系实际问题】
\l "_Tc24590" 【题型8 综合问题】
【题型1 知分运动求合运动】
【例1】随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy，与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
【变式1-1】国产大飞机C919是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，于2017年5月5日成功首飞。如图所示，飞机在起飞过程中的某时刻水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知在此后的1 min内，飞机在水平方向做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，竖直方向做加速度为0.2 m/s2的匀加速直线运动。关于这1 min内飞机的运动与受力情况，下列选项正确的是( )
A．飞机受到的合力竖直向上
B．飞机的运动轨迹为曲线
C．前20 s内，飞机上升的高度为120 m
D．前20 s内，飞机水平方向的平均速度为80 m/s
【变式1-2】在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x-t图像和vy-t图像分别如图甲、乙所示，求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。
【变式1-3】[多选]一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【题型2 渡河中的对比问题】
【例2】如图所示，一船夫摇船往返于河的两岸。若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点。第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合。假设河水速度保持不变，该船两次过河所用时间之比是( )
A．v1∶v2 B．v2∶v1
C．v12∶v22 D．v22∶v12
【变式2-1】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是( )
A.乙船先到达对岸
B.若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C.不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
D.若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
【变式2-2】有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))，回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2eq \r(3)∶1
【变式2-3】如图所示，两次渡河时船相对于静水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则( )
A．t2>t1，v2＝eq \f(x2v1,x1) B．t2>t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
C．t2＝t1，v2 ＝eq \f(x2v1,x1) D．t2＝t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
【题型3 渡河中的动态分析问题】
【例3】如图所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为( )
A.v1sin θ B.v1cs θ
C.v1tan θ D.eq \f(v1,sin θ)
【变式3-1】一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸。已知小船在静水中的速度为v。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是( )
A．减小α角，减小船速v B．减小α角，增大船速v
C．增大α角，增大船速v D．增大α角，减小船速v
【变式3-2】如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小。
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
【变式3-3】(多选)一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法正确的是( )
A.沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B.AD是匀减速运动的轨迹
C.沿AC轨迹渡河所用时间最短
D.小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
【题型4 绳头速度问题】
【例4】.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A.eq \f(v1sin α,sin β) B.eq \f(v1cs α,sin β)
C.eq \f(v1sin α,cs β) D.eq \f(v1cs α,cs β)
【变式4-1】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是( )
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是eq \r(3)∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中，Q所受的合力一直增大
【变式4-2】如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做减速运动
B．物体A做匀速运动
C．FT可能小于mgsin θ
D．FT一定大于mgsin θ
【变式4-3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcs θ
C．vtan θ D.eq \f(v,tan θ)
【题型5 杆头速度问题】
【例5】 [多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
【变式5-1】(多选)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右运动，对于两球的运动，下列说法正确的是( )
A．乙球距离起点3 m时，甲、乙两球的速度大小之比为eq \r(7)∶3
B．乙球距离起点3 m时，甲、乙两球的速度大小之比为3∶eq \r(7)
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
【变式5-2】曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
【变式5-3】一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
【题型6 转化参考系问题】
【例6】一人骑自行车向东行驶，当车速为4 m/s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7 m/s时，他感到风从东南方向(东偏南45°)吹来。假设风速的方向和大小恒定，则风对地的速度大小为( )
A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．4 m/s
【变式6-1】趣味投篮游戏中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )
【变式6-2】如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
【变式6-3】如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为( )
A.eq \f(v,sin θ) B.vsin θ
C.eq \f(v,cs θ) D.vcs θ
【题型7 联系实际问题】
【例7】春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )
A．直线OA B．曲线OB
C．曲线OC D．曲线OD
【变式7-1】1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s C．100 s D．300 s
【变式7-2】[多选]民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1)
B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v12＋v22),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2)
D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v22－v12))
【变式7-3】雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
【题型8 综合问题】
【例8】[多选]一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( )
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
【变式8-1】(多选)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4 m/s渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是( )
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船离开河岸400 m时的速度大小为2 eq \r(5) m/s
D．渡河最短时间为240 s
【变式8-2】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 ( )
A．t甲t乙 D．无法确定
【变式8-3】如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5 m/s
C.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D.小船渡河的时间是160 s
参考答案
【题型1 知分运动求合运动】
【例1】随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy，与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直方向向上为正方向。下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
解析：选C 0～t1时间内，无人机在水平方向做匀加速运动，在竖直方向也做匀加速运动，但初速度沿水平方向，合力与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，A错误；2～4 s时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，B错误；0～4 s时间内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，所以，无人机运动到最高点，C正确；0～5 s 内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移为eq \r(x2＋y2)，D错误。
【变式1-1】国产大飞机C919是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，于2017年5月5日成功首飞。如图所示，飞机在起飞过程中的某时刻水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知在此后的1 min内，飞机在水平方向做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，竖直方向做加速度为0.2 m/s2的匀加速直线运动。关于这1 min内飞机的运动与受力情况，下列选项正确的是( )
A．飞机受到的合力竖直向上
B．飞机的运动轨迹为曲线
C．前20 s内，飞机上升的高度为120 m
D．前20 s内，飞机水平方向的平均速度为80 m/s
解析：选D 飞机在水平方向做匀加速直线运动，则水平方向合外力不为0，所以飞机受到的合力不可能竖直向上，A错误；飞机的合加速度与水平方向的夹角为α，则有tan α＝eq \f(ay,ax)＝eq \f(1,10)，飞机的合速度与水平方向的夹角为β，则有tan β＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(1,10)，则α＝β，合加速度与合速度方向相同，飞机做匀加速直线运动，B错误；前20 s内，飞机上升的高度为h＝vyt＋eq \f(1,2)ayt2＝160 m，C错误；前20 s内，飞机水平方向的位移为x＝vxt＋eq \f(1,2)axt2＝1 600 m，前20 s内，飞机水平方向的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝80 m/s，D正确。
【变式1-2】在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x-t图像和vy-t图像分别如图甲、乙所示，求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。
解析：(1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝eq \f(x,t1)＝2 m/s，在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为4 m/s，则运动后4 s内质点运动的最大速度为vm＝eq \r(vx2＋vy2)＝2eq \r(5) m/s。
(2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，
此时加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2＝eq \f(v,a)＝eq \f(2,3) s
则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
y＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(2,3)))m－eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3) m＝0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移，由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s＝x＝8 m。
答案：(1)2eq \r(5) m/s (2)8 m
【变式1-3】[多选]一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
解析：选BC 对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。
【题型2 渡河中的对比问题】
【例2】如图所示，一船夫摇船往返于河的两岸。若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点。第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合。假设河水速度保持不变，该船两次过河所用时间之比是( )
A．v1∶v2 B．v2∶v1
C．v12∶v22 D．v22∶v12
解析：选D 由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示。
船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比。则eq \f(t1,t2)＝eq \f(v2合,v1合)＝eq \f(\f(v2,tan θ),\f(v1,sin θ))＝eq \f(v2,v1)cs θ，而cs θ＝eq \f(v2,v1)，可得eq \f(t1,t2)＝eq \f(v22,v12)，D正确。
【变式2-1】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是( )
A.乙船先到达对岸
B.若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C.不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
D.若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
答案 BD
解析 将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝eq \f(d,vsin θ)，故A错误；若仅是河水流速v0增大，渡河的时间t＝eq \f(d,vsin θ)，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只要甲船速度大于水流速度，不论河水流速v0如何改变，甲船总能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向相对于静水的分速度仍不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确。
【变式2-2】有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为eq \f(2v,\r(3))，回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2eq \r(3)∶1
解析：选B 设河宽为d，则去程所用的时间t1＝eq \f(d,\f(2v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,2v)；返程时的合速度：v′＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2v,\r(3))))2－v2)＝eq \f(v,\r(3))，回程的时间为：t2＝eq \f(d,\f(v,\r(3)))＝eq \f(\r(3)d,v)；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。
【变式2-3】如图所示，两次渡河时船相对于静水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则( )
A．t2>t1，v2＝eq \f(x2v1,x1) B．t2>t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
C．t2＝t1，v2 ＝eq \f(x2v1,x1) D．t2＝t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
解析：选C 设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝eq \f(d,vsin θ)，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝eq \f(x1,v1)＝eq \f(x2,v2)，解得v2＝eq \f(v1x2,x1)，C正确。
【题型3 渡河中的动态分析问题】
【例3】如图所示，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为( )
A.v1sin θ B.v1cs θ
C.v1tan θ D.eq \f(v1,sin θ)
答案 A
解析 如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB 时速度最小，由三角函数关系可知
v2＝v1sin θ，故A正确，B、C、D错误。
【变式3-1】一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸。已知小船在静水中的速度为v。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是( )
A．减小α角，减小船速v B．减小α角，增大船速v
C．增大α角，增大船速v D．增大α角，减小船速v
解析：选B 由题意可知，小船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，如图所示，当水流速度v1稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，则船速变化如图v′所示，
可知B正确。
【变式3-2】如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小。
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
解析：(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示。
故此时轮船相对于静水的速度v2的大小为
v2＝eq \r(v2＋v12)＝eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s。
(2)熄火前，设v与v2的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(v,v2)＝0.8，轮船的牵引力沿v2的方向，熄火后，牵引力消失，在水的作用力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，α＝θ，则vmin＝v1cs α＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
答案：(1)5 m/s (2)2.4 m/s
【变式3-3】(多选)一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示。下列说法正确的是( )
A.沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动
B.AD是匀减速运动的轨迹
C.沿AC轨迹渡河所用时间最短
D.小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
答案 ABC
解析 船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起匀速运动，曲线运动的加速度方向指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，同理可知，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀减速运动，沿AD轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，所以沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确。
【题型4 绳头速度问题】
【例4】.A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)( )
A.eq \f(v1sin α,sin β) B.eq \f(v1cs α,sin β)
C.eq \f(v1sin α,cs β) D.eq \f(v1cs α,cs β)
答案 D
解析 设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝eq \f(v绳B,cs β)①
物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cs α②
由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A③
联立①②③式解得vB＝eq \f(v1cs α,cs β)，选项D正确。
【变式4-1】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是( )
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是eq \r(3)∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中，Q所受的合力一直增大
解析：选B P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q的速度沿绳子方向的分速度vQcs 60°＝vP，解得eq \f(vP,vQ)＝eq \f(1,2)，A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即vP＝0，此时Q的速度最大，B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q所受的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，D错误。
【变式4-2】如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做减速运动
B．物体A做匀速运动
C．FT可能小于mgsin θ
D．FT一定大于mgsin θ
解析：选D 由题意，将B的实际运动，分解成两个分运动，如图所示：
根据平行四边形定则，可有vBsin α＝v绳，因B以速度v0匀速下滑，又α在增大，所以绳子速度在增大，则A处于加速状态，根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有FT＞mgsin θ，故D正确，A、B、C错误。
【变式4-3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcs θ
C．vtan θ D.eq \f(v,tan θ)
解析：选A 由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确。
【题型5 杆头速度问题】
【例5】 [多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
[解析] O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示，
对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcs θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。
[答案] BC
【变式5-1】(多选)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右运动，对于两球的运动，下列说法正确的是( )
A．乙球距离起点3 m时，甲、乙两球的速度大小之比为eq \r(7)∶3
B．乙球距离起点3 m时，甲、乙两球的速度大小之比为3∶eq \r(7)
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
解析：选BD 设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分速度为v1∥＝v1cs θ，v2在沿杆方向的分速度为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，乙球距离起点3 m时，有cs θ＝eq \f(\r(7),4)，sin θ＝eq \f(3,4)，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为eq \f(v1,v2)＝eq \f(3,\r(7))，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。
【变式5-2】曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，则此时v0cs θ＝vcs θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误。
【变式5-3】一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
解析：选C 球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，
有v11＝v1sin 30°＝eq \f(1,2)v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cs 60°＝eq \f(1,2)v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
【题型6 转化参考系问题】
【例6】一人骑自行车向东行驶，当车速为4 m/s时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7 m/s时，他感到风从东南方向(东偏南45°)吹来。假设风速的方向和大小恒定，则风对地的速度大小为( )
A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．4 m/s
解析：选C 当车速为4 m/s时，人感到风从正南方向吹来，画出矢量图如图(a )所示，故风对地的速度大小沿行驶方向的分速度为4 m/s，当车速增加到7 m/s时，他感到风从东南方向(东偏南45°)吹来，画出矢量图如图(b)所示，可知，风对地的速度大小沿着垂直行驶方向的分速度大小为3 m/s，因此风对地的速度大小为5 m/s，故C正确。
【变式6-1】趣味投篮游戏中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )
解析：选C 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。
【变式6-2】如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
答案 D
解析 以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对帆板的速度v相对＝eq \r(2)v，方向为北偏东45°，D正确。
【变式6-3】如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为( )
A.eq \f(v,sin θ) B.vsin θ
C.eq \f(v,cs θ) D.vcs θ
答案 C
解析 将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得v0＝eq \f(v,cs θ)，选项C正确，A、B、D错误。
【题型7 联系实际问题】
【例7】春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )
A．直线OA B．曲线OB
C．曲线OC D．曲线OD
解析：选D 孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确。
【变式7-1】1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s C．100 s D．300 s
解析：选D 河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝eq \f(d,v)＝eq \f(300,1) s＝300 s，故D正确。
【变式7-2】[多选]民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1)
B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v12＋v22),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2)
D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v22－v12))
解析：选BC 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，
故箭射到目标的最短时间为eq \f(d,v2)，C对，D错；运动员放箭处离目标的距离为eq \r(d2＋x2)，又x＝v1t＝v1·eq \f(d,v2)，故eq \r(d2＋x2)＝ eq \r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1d,v2)))2)＝eq \f(d\r(v12＋v22),v2)，A错，B对。
【变式7-3】雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有竖直向下的速度v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v＝eq \r(v12＋v22)＝5 m/s。
tan α＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(3,4)，即α＝37°。
答案：向西倾斜，与竖直方向成37°角
【题型8 综合问题】
【例8】[多选]一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( )
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
解析：选BD 质点做曲线运动，合力大致指向轨迹凹侧，即加速度大致指向轨迹凹侧，由题图可知加速度方向指向弧内，不可能沿y轴方向，x轴方向有加速度分量，所以沿x轴方向上，质点不可能做匀速运动，y轴方向可能有加速度分量，故质点沿y轴方向可能做变速运动，A错误，B正确；质点在x轴方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在x轴方向上的位移为零，所以质点沿x轴方向不能一直加速，也不能先加速后减速，只能先减速后反向加速，C错误，D正确。
【变式8-1】(多选)某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4 m/s渡河，且船渡河的时间最短，下列说法正确的是( )
A．船在河水中航行的轨迹是一条直线
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船离开河岸400 m时的速度大小为2 eq \r(5) m/s
D．渡河最短时间为240 s
解析：选BC 因为船在静水中速度不变，水流速度在变化，可知船在沿河岸方向上有加速度，合速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以轨迹是曲线，故A错误；当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，则最短时间t＝150 s，故B正确，D错误；船离开河岸400 m时，离较近河岸的距离为200 m，此时水流速度为2 m/s，根据平行四边形定则可得v＝2eq \r(5) m/s，故C正确。
【变式8-2】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 ( )
A．t甲t乙 D．无法确定
解析：选C 设水速为v0，人在静水中的速度为v，eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝eq \f(x,v＋v0)；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝eq \f(x,v－v0)。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝eq \f(x,v＋v0)＋eq \f(x,v－v0)＝eq \f(2vx,v2－v02)。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝eq \r(v2－v02)，故乙所用时间t乙＝eq \f(2x,v′)＝eq \f(2x,\r(v2－v02))。eq \f(t甲,t乙)＝eq \f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正确。
【变式8-3】如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5 m/s
C.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D.小船渡河的时间是160 s
答案 B
解析 小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，v水＝3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，选项B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(800,4 ) s＝200 s，选项D错误。