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必修 第二册2 运动的合成与分解精品同步练习题
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这是一份必修 第二册2 运动的合成与分解精品同步练习题，文件包含52运动的合成与分解专题训练原卷版docx、52运动的合成与分解专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
一．互成角度的两个匀速直线运动的合成（共5小题）
二．一个匀速和一个变速运动的合成（共5小题）
三．两个变速直线运动的合成（共4小题）
四．过河时间最短问题（共5小题）
五．船速大于水速时最短过河位移问题（共5小题）
六．船速小于水速时最短过河位移问题（共5小题）
七．斜牵引运动的运动分解（共7小题）
八．合运动与分运动的概念及关系（共4小题）
一．互成角度的两个匀速直线运动的合成（共5小题）
1．（2023·河北石家庄·统考二模）如图所示，一种桥式起重机主要由固定“桥架”和可移动“小车”组成。在某次运送货物过程中，小车沿水平方向向右缓慢移动了 6m，同时货物竖直向上移动了8m。该过程中货物相对地面的位移大小为（ ）
A．14mB．10mC．8mD．6m
【答案】B
【详解】依题意，货物的水平位移为6m，竖直位移为8m，可得
故选B。
2．（2023上·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期中）如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮，在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，玻璃管向右运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若玻璃管做匀速直线运动，则蜡块的合运动为匀加速直线运动
B．若玻璃管做匀速直线运动，则蜡块的合运动为匀速直线运动
C．若玻璃管做匀加速直线运动，则蜡块的上浮时间变短
D．若玻璃管做匀加速直线运动，则蜡块的合运动为匀加速直线运动
【答案】B
【详解】AB．若玻璃管做匀速直线运动，则在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，红蜡块向右匀速运动，蜡块的合运动为匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．若玻璃管做匀加速直线运动，则在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，红蜡块向右匀加速运动，蜡块的合运动为匀变速曲线运动，但蜡块的上浮时间不变，故CD错误；
故选B。
3．（2016·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）（多选）某电视台举行了一项趣味游戏活动：从光滑水平桌面的角A向角B发射一只乒乓球，要求参赛者在角B用细管吹气，将乒乓球吹进C处的圆圈中。赵、钱、孙、李四位参赛者的吹气方向如图中箭头所示，那么根据他们吹气的方向，不可能成功的参赛者是（ ）
A．赵B．钱C．孙D．李
【答案】ABD
【详解】要保证合运动沿BC方向，乒乓球参与了AB方向的运动和吹气方向的运动，根据平行四边形定则，知吹气的方向沿孙参赛者吹气的方向才能使得合运动沿BC方向。故C正确，ABD错误。
因选不可能成功的参赛者，故选ABD。
4．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）在研究运动的合成与分解的实验中，如图所示，若红蜡块的竖直上升速度恒为3cm/s，水平向右的速度恒为4cm/s，则以开始红蜡块的位置为坐标原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系。则红蜡块做 运动，红蜡块的实际速度大小为 cm/s，红蜡块的轨迹方程为 。
【答案】 匀速直线 5
【详解】[1]红蜡块竖直向上做匀速直线运动，同时水平向右做匀速直线运动，则红蜡块的合运动为匀速直线运动；
[2]红蜡块的实际速度大小为
[3]设经过时间，沿轴方向有
沿轴方向有
联立可得红蜡块的轨迹方程为
5．（2023上·广东深圳·高一校考期中）如图所示，为某装置的俯视图。质量为m的正方形小木块放在水平钢板C上，同时因受水平长直导轨A、B的限制，只能在导轨之间移动。导轨间距略大于小木块的宽度。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时沿导轨的方向水平拉动小木块，使其以速度v2在导轨间匀速移动。若小木块与所有物体间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求水平拉力F的大小。
【答案】
【详解】水平面内受力如图所示：
小木块和水平钢板间的摩擦力
小木块与导轨B间的压力
小木块与导轨B间的摩擦力
小木块和水平钢板间的摩擦力在v2反方向的分量
所以
二．一个匀速和一个变速运动的合成（共5小题）
6．（2023·山西·高二学业考试）教室中有可以沿水平方向左右移动的黑板，如图所示，某教师用粉笔在其中一块可移动的黑板上画直线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画轨迹，可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在竖直方向，粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，即粉笔相对于黑板从静止开始向下匀加速直线滑动，黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则在水平方向，粉笔相对于黑板以某一速度水平向右匀速滑动，可知，粉笔相对于黑板做初速度水平向右的曲线运动，加速度方向竖直向下，粉笔在黑板上所画轨迹只有第二个选项符合要求。
故选B。
7．（2023下·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校联考期中）曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗，后来发展成为文人墨客诗酒唱酬的一种雅事。大家坐在河渠两旁，在上流放置觞（木质酒杯），觞顺流而下，停在谁的面前，谁就取杯饮酒。如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东飘向下游时，突然吹来一阵风速不变的北风，则（ ）
A．觞可能沿着运动轨迹1垂直靠岸
B．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸
C．在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向
D．觞的加速度方向时刻改变
【答案】C
【详解】若没有风吹，则觞随着河水自西向东飘向下游，现有北风吹来，根据图中风向，结合运动的合成，可知觞可能沿着运动轨迹3运动，但不可能沿着运动轨迹4垂直靠岸，因为觞具有自西向东的水流速度；由于风速不变，则觞的加速度方向不变，觞在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向。
故选C。
8．（2023下·安徽合肥·高一校联考期中）（多选）在光滑水平面内有一个直角坐标系xOy，某一物体在该平面内分别沿x轴方向的位移s—时间t图像和沿y轴方向的速度v—时间t图像分别如甲、乙图所示。对于物体在0~4s内的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻，物体的加速度大小为B．0~4s内，物体做匀变速曲线运动
C．时，物体的初速度大小为D．0~4s内，物体的位移大小为4m
【答案】BC
【详解】A.由图可知，物体在轴方向做匀速直线运动，速度为1m/s，在轴方向做初速度为3m/s的匀减速直线运动，由图无法求出t=2s时加速度，故A错误；
C.时，物体的初速度大小为
故C正确；
B．0~4s内，物体的加速度沿y轴方向，大小恒定，而初速度的方向和加速度方向不在同一条直线，所以物体做匀变速曲线运动，故B正确；
D．0~4s内，物体在轴方向方向的位移为4m，轴方向的位移无法求出，所以无法求出物体位移的大小，故D错误。
故选BC。
9．（2023上·福建·高三校联考期中）质量为1kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示。质点的初速度为 m/s，质点所受的合外力大小为 N，质点前2s内的位移为 m（结果可以保留根号）。
【答案】 5m/s 1.5N
【详解】[1]由图可知，质点在x方向的初速度为
在y方向做匀速直线运动，速度大小为
故质点的初速为
[2]由图可知，质点在x方向做匀加速直线运动，y方向做匀速直线运动。故质点的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得，质点所受的合外力大小为
[3]根据图像可知，质点前2s内在x方向的位移大小为
质点前2s内在y方向的位移大小为
故质点前2s内的位移大小为
【点睛】根据图像判断质点在x和y方向的运动情况，质点的实际速度和位移及加速度等于x和y方向上速度和位移、加速度的矢量和。
10．（2023·山西·校联考模拟预测）正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车！一辆飞行汽车在平直的公路上以108km/h的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到200m高处。用表示水平位移，表示竖直位移，这一过程的图像如图所示。取，求汽车飞行时：
（1）到达200m高处时速度的大小；
（2）所受升力与其重力大小的比值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）飞行汽车水平速度大小，设飞行汽车在空中运动时间为，到达高处时速度的大小为，沿竖直方向分速度的大小为
，，
解得
（2）飞行汽车在竖直方向加速度的大小为，所受升力的大小为
，
解得
三．两个变速直线运动的合成（共4小题）
11．（2023上·山东日照·高三统考期中）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，同时人顶着直杆水平向右移动。某同学为研究猴子的运动，建立如图甲所示直角坐标系，描绘出猴子在轴方向和轴方向上的速度-时间图像分别如图乙和图丙所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子做匀变速直线运动B．猴子的加速度大小等于
C．时，猴子的速度大小等于D．内，猴子的位移大小等于
【答案】D
【详解】AB．根据v-t图像斜率代表加速度可知
加速度夹角为
加速度为
速度夹角为
可知合速度与和加速度方向不一致且加速度恒定，物体做匀变速曲线运动，故AB错误；
C．时，猴子的速度大小等于
故C错误；
D．根据v-t图像面积代表位移可得
内，猴子的位移大小等于
故D正确。
故选D。
12．（2023上·山东潍坊·高三校考阶段练习）某次无人机在配送快递的飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向vy与飞行时间t关系图像如图甲、乙所示。关于无人机运动的说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3~t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t3~t4时间内，无人机的运动轨迹是抛物线
【答案】D
【详解】A．在0～t1时间内，无人机在水平方向与竖直方向上均做初速度为0的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，故A错误；
B．在竖直方向，0～t1内，无人机向上做匀加速直线运动， t1～t2时间内向上做匀速直线运动，t2～t4继续向上做匀减速运动，可知t2时刻无人机运动没有运动到最高点，故B错误；
CD．t3～t4时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，可知合运动为匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线，故C错误，D正确。
故选D。
13．（2023上·河南濮阳·高三濮阳一高校考阶段练习）（多选）平面内质量为的物体沿、方向的运动图像分别如图1、2所示，其中沿方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体加速度大小为
B．物体做匀变速曲线运动
C．物体做变加速直线运动
D．时物体速度最小，大小为
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，在方向上，有
结合图线可得
在方向上，有
所以物体运动的加速度大小为
故A错误；
BC．由于合加速度的方向和合初速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，故C错误，B正确；
D．物体运动的速度大小为
根据二次函数知识可知，当时物体速度最小，其值为
故D正确。
故选BD。
14．（2023上·北京海淀·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）一个的小球自地面上方处以初速度沿水平方向抛出，受到水平反方向的风力的作用，假设水平风力恒定为，以抛出点为坐标原点，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，取：，求：
（1）小球运动过程中水平坐标的最大值x1；
（2）小球落地时的水平坐标x2；
（3）小球运动过程中达到最小速度的时刻。
（4）你认为小球的运动轨迹是抛物线吗？为什么？
【答案】（1）1m；（2）0.64m；（3）（4）是抛物线
【详解】（1）水平方向小球的加速度大小
方向沿x轴负向；
小球水平速度减为零需要时间
水平坐标的最大值为
（2）小球落地需要的时间
落地时的坐标
（3）小球某时刻的速度为
则合速度
则当
时物体的速度最小。
（4）小球水平方向和竖直方向都受恒力作用，则合力仍为恒力，则小球的运动轨迹为抛物线。
四．过河时间最短问题（共5小题）
15．（2024上·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
【答案】D
【详解】A．当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为
且必须小于或等于
故A错误；
B．小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度小于船在静水中速度，渡河时间不是最短，故B错误；
CD．小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得
故C错误，D正确。
故选D。
16．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）如图所示，两岸平行的河流宽为120m。一汽艇船从岸边的某点渡河，渡河过程中船头指向与河岸始终垂直。已知汽艇船在静水中的速度大小为4.0m/s，水流速度v的大小恒为3.0m/s，则汽艇船渡河的时间为（ ）
A．24sB．30sC．40sD．50s
【答案】B
【详解】当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为
故选B。
17．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）京津冀第五届滹沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员热身时游过一段宽的河道，河水的流速与离河岸的距离变化的关系如图所示，运动员在静水中的速度为，若运动员以最短的时间渡河，则（ ）
A．运动员在渡河过程中，的方向应与上游河岸成角
B．运动员运动的轨迹是曲线
C．运动员渡河的最短时间是
D．运动员在河水中的最大速度是
【答案】BD
【详解】A．若运动员以最短的时间渡河，则运动员在渡河过程中，的方向始终与河岸垂直，故A错误；
B．由于水流速度变化，的方向始终与河岸垂直，所以运动员的合速度方向变化，运动员运动的轨迹是曲线，故B正确；
C．运动员以最短的时间渡河，的方向始终与河岸垂直，则有
故C错误；
D．运动员在河水中的最大速度为
故D正确。
故选BD。
18．（2023上·福建三明·高三校联考阶段练习）某段江面宽100m，甲、乙两艘小船在静水中的速度均为5m/s，先后从A点出发，甲船渡河时间为20s，甲船航行轨迹总长为200m，则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角α= 度；如果乙船渡河轨迹与甲船重合，但是渡河时间较长，则乙船渡河时间为 秒。（小船可视为质点）
【答案】 30 40
【详解】[1][2]由题意
则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角为
甲船渡河时间为20s，结合河宽100m和静水速度5m/s，可知，甲船船头直线正对岸。由题意，乙船静水速度方向如图
乙船的实际速度与静水速度大小相等，则乙船渡河时间为
19．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知河宽200m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5min，小艇恰好到达正对岸的B处，求：
（1）水流的速度v1：
（2）小艇在静水中的速度v2；
（3）小艇与河岸的夹角。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）水流速度为，小艇在静水中速度为，艇身与河岸垂直时，由
故
（2）艇身与河岸垂直时
故得
（3）小艇逆向上游行驶时，速度情况如图所示
小艇与河岸夹角的余弦
解得
五．船速大于水速时最短过河位移问题（共5小题）
20．（2023上·江苏扬州·高二统考学业考试）如图所示，实线为河岸，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，河水流速为v1，船头方向为船在静水中的速度方向，船在静水中的速度大小为v2。则（ ）
A．v1＞v2B．v1＜v2C．v1=v2D．无法确定v1、v2的大小关系
【答案】B
【详解】根据平行四边形定则知，若船头指向河对岸上游，合速度的方向正好垂直河岸，则船在静水中的速度大小一定大于河水流速。
故选B。
21．（2023上·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游处；若冲锋舟船头保持与河岸成角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为，下列说法正确的是（ ）
A．冲锋舟在静水中的速度大小为
B．河的宽度为800m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为
D．河的宽度为1200m
【答案】C
【详解】AC．冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有
v静sin60°=v水
解得
v静＝
故A错误C正确；
BD．当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即
式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得
故BD错误；
故选C。
22．（2023下·高一单元测试）（多选）如图所示，水流速度恒定，甲、乙两只可视为质点的小船同时从B点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，已知甲船在静水中航行的速度为乙船的2倍，乙船在静水中的船速与水流速度相同，河的宽度为d。下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先到达河对岸
B．甲到达河对岸时恰好位于A点
C．甲到达河对岸时，乙经过的位移为
D．乙到达河对岸时离A点的距离为2d
【答案】AB
【详解】A．设在静水中乙船的速度大小为v，则水流速度大小为v，在静水中甲船速度大小为2v，甲、乙两船航行时平行于河岸和垂直于河岸的速度分别为
甲船过河时间为
乙船过河的时间为
可知甲比乙先到达河对岸，故A正确；
B．由于甲航行时平行河岸的分速度为0，故甲的合速度方向垂直于河岸，甲到达河对岸时恰好位于A点，故B正确；
C．甲到达河对岸时，所用时间为
乙在垂直河岸方向上的位移大小为
乙在平行河岸方向上的位移大小为
此时乙经过的位移为
故C错误；
D．乙到达河对岸时离A点的距离为
故D错误。
故选AB。
23．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）某人乘船横渡一条两岸笔直、宽度为d的河，已知船在静水中的速度大小为，水流速度为，则此人过河的最短时间为 ，此人匀速到达正对岸的时间为 。
【答案】
【详解】[1][2]当船在静水中的速度与河岸垂直，过河时间最短为
到正对岸时，合速度方向垂直河岸，故此时小船在水中的合速度大小为
此时渡河时间为
24．（2024下·高一课时练习）已知某船在静水中的速度为v1=4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d=100m，水流速度为v2=3m/s，方向与河岸平行，则：
（1）欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
（2）欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
（3）若水流速度为v2=5m/s，船在静水中的速度为v1=4m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
【答案】（1）船头垂直于河岸，25s，125m；（2）船的实际速度方向垂直于河岸，船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为，；（3）不能垂直河岸渡河
【详解】（1）由题意知，当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为
由题意可得
代入得
s=125 m
（2）分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1=4m/s，大于水流速度v2=3m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图乙所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有
v1cs θ=v2
得
得
故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为，所用的时间为
（3）当水流速度v2=5m/s大于船在静水中的速度v1=4m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。
六．船速小于水速时最短过河位移问题（共5小题）
25．（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）一艘小船要从河的此岸驶向对岸，假设河岸是平直的，河水流速为v1，小船在静水中的速度为v2，现要求小船行驶的路程最短，则小船船头指向（ ）
A．与河岸成一定角度，斜向上游
B．与河岸成一定角度，斜向下游
C．与河岸垂直，指向对岸
D．与河岸平行，指向上游
【答案】A
【详解】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，小船垂直于河岸方向的分速度使小船到对岸，沿河岸的分速度与河水速度的合速度使小船沿河岸方向运动；要求小船行驶的路程最短，则小船船头与河岸成一定角度，斜向上游。
故选A。
26．（2023下·江西南昌·高一统考期中）如图，小船从河岸A点过河，船头与河岸所成的夹角始终为，航行轨迹是从A点到点的直线，航行轨迹与河岸的夹角为。已知河宽为，船在静水中的速度，，，，下列说法正确的是（ ）
A．河水的流速大小为B．船的实际速度大小为
C．渡河时间为D．是小船渡河的最短路径
【答案】D
【详解】AB．由于，可知船在静水中的速度与船的合速度垂直，如图所示
由图示的几何关系可知
，
可得河水的流速大小
船的实际速度大小
故AB错误；
C．船在垂直河岸的分速度为，渡河时间
代入数据可得
故C错误；
D．以末端为圆心，以为半径做圆如图所示，此圆恰好与相切，可知是船渡河的最短路径，故D正确。
故选D。
27．（2022上·江西抚州·高一统考阶段练习）（多选）某人想划一条船渡过一条宽为的河，他在静水中划船的速度大小为，河水流动的速度大小为。对于这次划船过河，下列说法正确的是（ ）
A．他要想到达河的正对岸就得船头始终垂直于河岸划船
B．他要想节省过河时间就得船头始终垂直于河岸划船
C．他要想少走点路就得船头始终垂直于河岸划船
D．他不可能到达河的正对岸
【答案】BD
【详解】A D．由于水速大于船速，无论怎么开，都不可能到达河的正对岸，故A错误，D正确；
B．朝着正对岸划船，过河时间最短，故他要想以最短时间过河就得船头始终垂直于河岸划船，故B正确；
C．
根据最短路程时有
得
故他要想少走点路就得船头始终沿着与河岸夹角为指向上游方向航行，故C错误。
故选BD。
28．（2023上·福建泉州·高三晋江市毓英中学校考期中）小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为5m/s，船在静水中的航速是4m/s，要使小船渡河时间最短，最短渡河时间是 s。要使小船航程最短，船头与河岸的夹角为 ，最短航程是 m。
【答案】 50
【详解】[1][2][3]当船头与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为
因为水流速度大于船的速度，则水流速度和船速、合速度满足如图关系，位移最小
所以
最小位移
29．（2024上·山东日照·高一校联考阶段练习）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河的宽度，河水的流速，方向如图所示，（）。
（1）若小船在静水中的速度，以最短的时间到达河对岸，求小船的位移s；
（2）若小船在静水中的速度，以最小的位移到达河对岸，求小船的渡河时间t；
（3）若小船相对于水的速度（即静水中的速度）大小保持不变，为了避险，小船沿虚线从A到B再到C，所用时间为，完成救援任务后再沿着虚线从C到B再返回到A，所用时间为，已知A、B连线垂直于河岸，B、C连线平行于河岸，且，，不计小船在B点转变方向的时间。求与的比值。
【答案】（1），与河岸的夹角的正切值为；（2）；（3）
【详解】（1）以最短的时间渡河，则船头垂直于河岸，渡河时间
沿着河岸方向的位移
垂直于河岸方向的位移就等于d，则小船的位移
与河岸的夹角的正切值为
（2）由于，船头与合速度的方向垂直时渡河位移最小，设位移为，有
渡河时间
（3）小船的合速度方向沿着A、B连线，当小船从A点运动到B点时，设合速度为
从B点运动到C点时，设合速度为
从C点运动到点B时，设合速度为
从B点运动到A点时，运动时间等于
七．斜牵引运动的运动分解（共7小题）
30．（2021下·内蒙古赤峰·高一校考期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将小船的速度沿着绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示
沿着绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，即
所以
故选C。
31．（2023上·云南·高一校联考期末）有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。如图所示，当绳与轨道成30°角时，物块A和B的速度大小之比为（ ）
A．1:1B．1:2C．D．
【答案】C
【详解】将B的速度分解，如图所示，
则有
解得
故选C。
32．（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）如图所示，质量为m的物块P置于倾角为的光滑斜面上，斜面放在粗糙的水平地面上始终保持静止、细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车受水平向右的牵引力，拉着物块P以速度v沿斜面向上做匀速直线运动。图示小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为，（ ）
A．小车正以做匀速运动
B．斜面受到地面的摩擦力，并保持不变
C．小车在运动过程中，对地面的压力在增大
D．小车在运动过程中，牵引力一定在增大
【答案】C
【详解】A．将小车的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图所示
小车沿绳方向的速度等于P的速度，即
随着小车向右运动，夹角变小，小车速度变小，所以小车并不是匀速运动，故A错误；
B．物块P以速度v沿斜面向上做匀速直线运动，所以绳中拉力
不变，对P和斜面整体分析，斜面受到地面的摩擦力
因为夹角变小，所以摩擦力不是恒力，故B错误；
C．设小车质量为M，小车在运动过程中，对地面的压力
拉力不变，变小，N在增大，故C正确；
D．根据A分析可知，小车速度变小，做减速运动，合力向左，无法确定牵引力变化，故D错误。
故选C。
33．（2023下·福建泉州·高一晋江市第一中学校考期中）（多选）如图所示，一段绳子跨过距地面高度为H的两个定滑轮，绳子一端连接小车P，另一端连接物块Q，当小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A．小车P做匀速运动B．小车P做减速运动
C．绳子对物块Q的拉力大小不变D．小车P对地面的压力逐渐减小
【答案】BC
【详解】AB．将小车P的速度分解到沿绳子方向和垂直于绳子方向，如下图所示
小车P沿绳子方向的分速度与物块Q的速度大小相等，则有
小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，即大小不变，变小，则变小，所以小车P做减速运动，故A错误，B正确；
C．物块Q匀速上升，则绳子对物块Q的拉力大小等于物块Q的重力大小保持不变，故C正确；
D．设绳子拉力为T，对小车P分析，在竖直方向上则有
物块Q匀速上升，绳子拉力T大小不变，逐渐变小，则地面对小车的支持力逐渐变大，所以小车P对地面的压力逐渐变大，故D错误。
故选BC。
34．（2023上·安徽合肥·高三校联考阶段练习）（多选）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，在圆环的最高点O固定一个光滑的小环，穿过小环的细线两端分别连接着质量为的小球A和质量为m的小球B，A、B两球套在圆环上，用沿圆环切线方向的力F作用在B球上，使A、B保持静止，此时A、B连线刚好是圆环的直径，A、B连线与水平方向夹角为，撤去作用在小球B点的力后，两个小球由静止开始运动。已知重力加速度为g，不计小环和小球大小，运动过程中整个系统无能量损失。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小相等
D．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小关系为
【答案】AD
【详解】AB．开始时，对小球A研究，根据力的平衡，细线拉力
对小球B研究
解得
故A正确、B错误；
CD．当A球下降高度R到P位置时，B球上升的高度也为R，此时A、B两球的连线仍过圆心，由沿绳方向的速度相等得
解得
故C错误，D正确。
故选AD。
35．（2023下·安徽池州·高一统考期中）如图，物体A以速度v沿竖直杆匀速下滑，物体B在水平面上用细绳跨过定滑轮与A相连，当绳与水平面成θ时，物体B的速率为 ，B做 （填“加速”、“减速”或“匀速”）运动。
【答案】 vsinθ 加速
【详解】[1] 将A下降的速度分解为沿绳的速度和垂直于绳的速度，如图所示
B物体运动的速率为
[2]由于A做匀速直线运动，即v不变，随着A下降θ增大，所以B的速率增大，即B做加速运动。
36．（2023下·高一课时练习）如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球水平速度为，加速度大小为，杆与竖直夹角为，求此时A球速度和加速度大小。
【答案】，
【详解】由速度的合成与分解可知，将两球的速度分解，如图所示
则有
而
那么两小球实际速度之比
故
同理，小球加速度大小之比
故
八．合运动与分运动的概念及关系（共4小题）
37．（2024下·高一课时练习）现在自然灾害日益严重，在救灾过程中有时不得不出动军用直升机为被困灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，当物资从直升机上由静止投下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，物资下落时间越长
B．物资速度方向一定每时每刻都在变化
C．物资下落时间与风力无关
D．物资着地速度与风力无关
【答案】C
【详解】AC．分运动与合运动具有等时性，物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等，分运动与分运动具有独立性，水平风力不会影响竖直方向运动，所以物资下落时间与风力无关，故A错误，C正确；
B．如水平风力大小也不变，物资在竖直方向和水平方向都做初速度为零的匀加速直线运动，所以合运动为初速度为零的匀加速直线运动，物资速度方向不变，故B错误；
D．物资着地时竖直方向速度与风力无关，但水平方向速度与风力有关，所以合速度与风力有关，故D错误。
故选C。
38．（2023上·浙江·高二统考学业考试）如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，根据合运动与分运动的关系，以下分析正确的是（ ）
A．要想时间最短，船头应该朝向上游如图中2的方向
B．要想到达C点，船头应该朝向下游如图中的3方向
C．要想位移最短，船头应该指向1的方向
D．若船头朝向2，可能会在C点靠岸
【答案】D
【详解】A．要想时间最短，船头应垂直河岸，应朝向图中1的方向，故A错误；
B．要想到达C点，合速度方向沿图中3方向，所以当水的流速大于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的2方向，当水的流速小于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的1方向，故B错误，D正确；
C．当合速度方向指向1时渡河位移最短，则船头指向1时位移不是最短的，故C错误。
故选D。
39．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）（多选）关于运动的合成，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度可能比分运动的速度小
B．两个分运动的时间，一定与它们合运动的时间相等
C．两个不沿一直线的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
D．两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
【答案】ABC
【详解】A．根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A正确；
B．分运动与合运动具有等时性，故B正确；
C．两个匀速直线运动的合运动，则没有加速度，一定是匀速直线运动，故C正确；
D．平抛运动是曲线运动，是水平匀速直线和竖直方向的自由落体运动的两个直线运动的合运动，所以两个分运动是直线运动的合运动，不一定是直线运动，故D错误。
故选ABC。
40．（2022·高一课时练习）某飞机以仰角起飞，起飞时初速度大小为。假设其做加速度大小为的匀加速直线运动。则：
（1）起飞后末飞机离地面多高？
（2）此时刻飞机距起飞点的水平距离为多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据匀加速直线运动的位移公式可得
根据几何关系可得上升的高度为
（2）此时刻飞机距起飞点的水平距离为
一．互成角度的两个匀速直线运动的合成（共5小题）
二．一个匀速和一个变速运动的合成（共5小题）
三．两个变速直线运动的合成（共4小题）
四．过河时间最短问题（共5小题）
五．船速大于水速时最短过河位移问题（共5小题）
六．船速小于水速时最短过河位移问题（共5小题）
七．斜牵引运动的运动分解（共7小题）
八．合运动与分运动的概念及关系（共4小题）
一．互成角度的两个匀速直线运动的合成（共5小题）
1．（2023·河北石家庄·统考二模）如图所示，一种桥式起重机主要由固定“桥架”和可移动“小车”组成。在某次运送货物过程中，小车沿水平方向向右缓慢移动了 6m，同时货物竖直向上移动了8m。该过程中货物相对地面的位移大小为（ ）
A．14mB．10mC．8mD．6m
【答案】B
【详解】依题意，货物的水平位移为6m，竖直位移为8m，可得
故选B。
2．（2023上·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期中）如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮，在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，玻璃管向右运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若玻璃管做匀速直线运动，则蜡块的合运动为匀加速直线运动
B．若玻璃管做匀速直线运动，则蜡块的合运动为匀速直线运动
C．若玻璃管做匀加速直线运动，则蜡块的上浮时间变短
D．若玻璃管做匀加速直线运动，则蜡块的合运动为匀加速直线运动
【答案】B
【详解】AB．若玻璃管做匀速直线运动，则在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，红蜡块向右匀速运动，蜡块的合运动为匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．若玻璃管做匀加速直线运动，则在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，红蜡块向右匀加速运动，蜡块的合运动为匀变速曲线运动，但蜡块的上浮时间不变，故CD错误；
故选B。
3．（2016·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）（多选）某电视台举行了一项趣味游戏活动：从光滑水平桌面的角A向角B发射一只乒乓球，要求参赛者在角B用细管吹气，将乒乓球吹进C处的圆圈中。赵、钱、孙、李四位参赛者的吹气方向如图中箭头所示，那么根据他们吹气的方向，不可能成功的参赛者是（ ）
A．赵B．钱C．孙D．李
【答案】ABD
【详解】要保证合运动沿BC方向，乒乓球参与了AB方向的运动和吹气方向的运动，根据平行四边形定则，知吹气的方向沿孙参赛者吹气的方向才能使得合运动沿BC方向。故C正确，ABD错误。
因选不可能成功的参赛者，故选ABD。
4．（2023下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）在研究运动的合成与分解的实验中，如图所示，若红蜡块的竖直上升速度恒为3cm/s，水平向右的速度恒为4cm/s，则以开始红蜡块的位置为坐标原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系。则红蜡块做 运动，红蜡块的实际速度大小为 cm/s，红蜡块的轨迹方程为 。
【答案】 匀速直线 5
【详解】[1]红蜡块竖直向上做匀速直线运动，同时水平向右做匀速直线运动，则红蜡块的合运动为匀速直线运动；
[2]红蜡块的实际速度大小为
[3]设经过时间，沿轴方向有
沿轴方向有
联立可得红蜡块的轨迹方程为
5．（2023上·广东深圳·高一校考期中）如图所示，为某装置的俯视图。质量为m的正方形小木块放在水平钢板C上，同时因受水平长直导轨A、B的限制，只能在导轨之间移动。导轨间距略大于小木块的宽度。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时沿导轨的方向水平拉动小木块，使其以速度v2在导轨间匀速移动。若小木块与所有物体间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，求水平拉力F的大小。
【答案】
【详解】水平面内受力如图所示：
小木块和水平钢板间的摩擦力
小木块与导轨B间的压力
小木块与导轨B间的摩擦力
小木块和水平钢板间的摩擦力在v2反方向的分量
所以
二．一个匀速和一个变速运动的合成（共5小题）
6．（2023·山西·高二学业考试）教室中有可以沿水平方向左右移动的黑板，如图所示，某教师用粉笔在其中一块可移动的黑板上画直线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画轨迹，可能为下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】在竖直方向，粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，即粉笔相对于黑板从静止开始向下匀加速直线滑动，黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则在水平方向，粉笔相对于黑板以某一速度水平向右匀速滑动，可知，粉笔相对于黑板做初速度水平向右的曲线运动，加速度方向竖直向下，粉笔在黑板上所画轨迹只有第二个选项符合要求。
故选B。
7．（2023下·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校联考期中）曲水流觞，是我国古代汉族民间的一种传统习俗，后来发展成为文人墨客诗酒唱酬的一种雅事。大家坐在河渠两旁，在上流放置觞（木质酒杯），觞顺流而下，停在谁的面前，谁就取杯饮酒。如图所示的觞随着流速恒定的河水自西向东飘向下游时，突然吹来一阵风速不变的北风，则（ ）
A．觞可能沿着运动轨迹1垂直靠岸
B．觞可能沿着运动轨迹4垂直靠岸
C．在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向
D．觞的加速度方向时刻改变
【答案】C
【详解】若没有风吹，则觞随着河水自西向东飘向下游，现有北风吹来，根据图中风向，结合运动的合成，可知觞可能沿着运动轨迹3运动，但不可能沿着运动轨迹4垂直靠岸，因为觞具有自西向东的水流速度；由于风速不变，则觞的加速度方向不变，觞在河水中觞的加速度方向与速度方向的夹角一直减小，但不可能同向。
故选C。
8．（2023下·安徽合肥·高一校联考期中）（多选）在光滑水平面内有一个直角坐标系xOy，某一物体在该平面内分别沿x轴方向的位移s—时间t图像和沿y轴方向的速度v—时间t图像分别如甲、乙图所示。对于物体在0~4s内的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻，物体的加速度大小为B．0~4s内，物体做匀变速曲线运动
C．时，物体的初速度大小为D．0~4s内，物体的位移大小为4m
【答案】BC
【详解】A.由图可知，物体在轴方向做匀速直线运动，速度为1m/s，在轴方向做初速度为3m/s的匀减速直线运动，由图无法求出t=2s时加速度，故A错误；
C.时，物体的初速度大小为
故C正确；
B．0~4s内，物体的加速度沿y轴方向，大小恒定，而初速度的方向和加速度方向不在同一条直线，所以物体做匀变速曲线运动，故B正确；
D．0~4s内，物体在轴方向方向的位移为4m，轴方向的位移无法求出，所以无法求出物体位移的大小，故D错误。
故选BC。
9．（2023上·福建·高三校联考期中）质量为1kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示。质点的初速度为 m/s，质点所受的合外力大小为 N，质点前2s内的位移为 m（结果可以保留根号）。
【答案】 5m/s 1.5N
【详解】[1]由图可知，质点在x方向的初速度为
在y方向做匀速直线运动，速度大小为
故质点的初速为
[2]由图可知，质点在x方向做匀加速直线运动，y方向做匀速直线运动。故质点的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得，质点所受的合外力大小为
[3]根据图像可知，质点前2s内在x方向的位移大小为
质点前2s内在y方向的位移大小为
故质点前2s内的位移大小为
【点睛】根据图像判断质点在x和y方向的运动情况，质点的实际速度和位移及加速度等于x和y方向上速度和位移、加速度的矢量和。
10．（2023·山西·校联考模拟预测）正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车！一辆飞行汽车在平直的公路上以108km/h的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到200m高处。用表示水平位移，表示竖直位移，这一过程的图像如图所示。取，求汽车飞行时：
（1）到达200m高处时速度的大小；
（2）所受升力与其重力大小的比值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）飞行汽车水平速度大小，设飞行汽车在空中运动时间为，到达高处时速度的大小为，沿竖直方向分速度的大小为
，，
解得
（2）飞行汽车在竖直方向加速度的大小为，所受升力的大小为
，
解得
三．两个变速直线运动的合成（共4小题）
11．（2023上·山东日照·高三统考期中）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，同时人顶着直杆水平向右移动。某同学为研究猴子的运动，建立如图甲所示直角坐标系，描绘出猴子在轴方向和轴方向上的速度-时间图像分别如图乙和图丙所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子做匀变速直线运动B．猴子的加速度大小等于
C．时，猴子的速度大小等于D．内，猴子的位移大小等于
【答案】D
【详解】AB．根据v-t图像斜率代表加速度可知
加速度夹角为
加速度为
速度夹角为
可知合速度与和加速度方向不一致且加速度恒定，物体做匀变速曲线运动，故AB错误；
C．时，猴子的速度大小等于
故C错误；
D．根据v-t图像面积代表位移可得
内，猴子的位移大小等于
故D正确。
故选D。
12．（2023上·山东潍坊·高三校考阶段练习）某次无人机在配送快递的飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向vy与飞行时间t关系图像如图甲、乙所示。关于无人机运动的说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3~t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t3~t4时间内，无人机的运动轨迹是抛物线
【答案】D
【详解】A．在0～t1时间内，无人机在水平方向与竖直方向上均做初速度为0的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，故A错误；
B．在竖直方向，0～t1内，无人机向上做匀加速直线运动， t1～t2时间内向上做匀速直线运动，t2～t4继续向上做匀减速运动，可知t2时刻无人机运动没有运动到最高点，故B错误；
CD．t3～t4时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，可知合运动为匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线，故C错误，D正确。
故选D。
13．（2023上·河南濮阳·高三濮阳一高校考阶段练习）（多选）平面内质量为的物体沿、方向的运动图像分别如图1、2所示，其中沿方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体加速度大小为
B．物体做匀变速曲线运动
C．物体做变加速直线运动
D．时物体速度最小，大小为
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，在方向上，有
结合图线可得
在方向上，有
所以物体运动的加速度大小为
故A错误；
BC．由于合加速度的方向和合初速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，故C错误，B正确；
D．物体运动的速度大小为
根据二次函数知识可知，当时物体速度最小，其值为
故D正确。
故选BD。
14．（2023上·北京海淀·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）一个的小球自地面上方处以初速度沿水平方向抛出，受到水平反方向的风力的作用，假设水平风力恒定为，以抛出点为坐标原点，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，取：，求：
（1）小球运动过程中水平坐标的最大值x1；
（2）小球落地时的水平坐标x2；
（3）小球运动过程中达到最小速度的时刻。
（4）你认为小球的运动轨迹是抛物线吗？为什么？
【答案】（1）1m；（2）0.64m；（3）（4）是抛物线
【详解】（1）水平方向小球的加速度大小
方向沿x轴负向；
小球水平速度减为零需要时间
水平坐标的最大值为
（2）小球落地需要的时间
落地时的坐标
（3）小球某时刻的速度为
则合速度
则当
时物体的速度最小。
（4）小球水平方向和竖直方向都受恒力作用，则合力仍为恒力，则小球的运动轨迹为抛物线。
四．过河时间最短问题（共5小题）
15．（2024上·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
【答案】D
【详解】A．当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为
且必须小于或等于
故A错误；
B．小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度小于船在静水中速度，渡河时间不是最短，故B错误；
CD．小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得
故C错误，D正确。
故选D。
16．（2023上·河北石家庄·高一统考期末）如图所示，两岸平行的河流宽为120m。一汽艇船从岸边的某点渡河，渡河过程中船头指向与河岸始终垂直。已知汽艇船在静水中的速度大小为4.0m/s，水流速度v的大小恒为3.0m/s，则汽艇船渡河的时间为（ ）
A．24sB．30sC．40sD．50s
【答案】B
【详解】当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为
故选B。
17．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）京津冀第五届滹沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员热身时游过一段宽的河道，河水的流速与离河岸的距离变化的关系如图所示，运动员在静水中的速度为，若运动员以最短的时间渡河，则（ ）
A．运动员在渡河过程中，的方向应与上游河岸成角
B．运动员运动的轨迹是曲线
C．运动员渡河的最短时间是
D．运动员在河水中的最大速度是
【答案】BD
【详解】A．若运动员以最短的时间渡河，则运动员在渡河过程中，的方向始终与河岸垂直，故A错误；
B．由于水流速度变化，的方向始终与河岸垂直，所以运动员的合速度方向变化，运动员运动的轨迹是曲线，故B正确；
C．运动员以最短的时间渡河，的方向始终与河岸垂直，则有
故C错误；
D．运动员在河水中的最大速度为
故D正确。
故选BD。
18．（2023上·福建三明·高三校联考阶段练习）某段江面宽100m，甲、乙两艘小船在静水中的速度均为5m/s，先后从A点出发，甲船渡河时间为20s，甲船航行轨迹总长为200m，则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角α= 度；如果乙船渡河轨迹与甲船重合，但是渡河时间较长，则乙船渡河时间为 秒。（小船可视为质点）
【答案】 30 40
【详解】[1][2]由题意
则甲船行驶轨迹与河岸下游夹角为
甲船渡河时间为20s，结合河宽100m和静水速度5m/s，可知，甲船船头直线正对岸。由题意，乙船静水速度方向如图
乙船的实际速度与静水速度大小相等，则乙船渡河时间为
19．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知河宽200m，一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5min，小艇恰好到达正对岸的B处，求：
（1）水流的速度v1：
（2）小艇在静水中的速度v2；
（3）小艇与河岸的夹角。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）水流速度为，小艇在静水中速度为，艇身与河岸垂直时，由
故
（2）艇身与河岸垂直时
故得
（3）小艇逆向上游行驶时，速度情况如图所示
小艇与河岸夹角的余弦
解得
五．船速大于水速时最短过河位移问题（共5小题）
20．（2023上·江苏扬州·高二统考学业考试）如图所示，实线为河岸，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，河水流速为v1，船头方向为船在静水中的速度方向，船在静水中的速度大小为v2。则（ ）
A．v1＞v2B．v1＜v2C．v1=v2D．无法确定v1、v2的大小关系
【答案】B
【详解】根据平行四边形定则知，若船头指向河对岸上游，合速度的方向正好垂直河岸，则船在静水中的速度大小一定大于河水流速。
故选B。
21．（2023上·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游处；若冲锋舟船头保持与河岸成角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为，下列说法正确的是（ ）
A．冲锋舟在静水中的速度大小为
B．河的宽度为800m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为
D．河的宽度为1200m
【答案】C
【详解】AC．冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有
v静sin60°=v水
解得
v静＝
故A错误C正确；
BD．当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即
式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得
故BD错误；
故选C。
22．（2023下·高一单元测试）（多选）如图所示，水流速度恒定，甲、乙两只可视为质点的小船同时从B点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，已知甲船在静水中航行的速度为乙船的2倍，乙船在静水中的船速与水流速度相同，河的宽度为d。下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先到达河对岸
B．甲到达河对岸时恰好位于A点
C．甲到达河对岸时，乙经过的位移为
D．乙到达河对岸时离A点的距离为2d
【答案】AB
【详解】A．设在静水中乙船的速度大小为v，则水流速度大小为v，在静水中甲船速度大小为2v，甲、乙两船航行时平行于河岸和垂直于河岸的速度分别为
甲船过河时间为
乙船过河的时间为
可知甲比乙先到达河对岸，故A正确；
B．由于甲航行时平行河岸的分速度为0，故甲的合速度方向垂直于河岸，甲到达河对岸时恰好位于A点，故B正确；
C．甲到达河对岸时，所用时间为
乙在垂直河岸方向上的位移大小为
乙在平行河岸方向上的位移大小为
此时乙经过的位移为
故C错误；
D．乙到达河对岸时离A点的距离为
故D错误。
故选AB。
23．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）某人乘船横渡一条两岸笔直、宽度为d的河，已知船在静水中的速度大小为，水流速度为，则此人过河的最短时间为 ，此人匀速到达正对岸的时间为 。
【答案】
【详解】[1][2]当船在静水中的速度与河岸垂直，过河时间最短为
到正对岸时，合速度方向垂直河岸，故此时小船在水中的合速度大小为
此时渡河时间为
24．（2024下·高一课时练习）已知某船在静水中的速度为v1=4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d=100m，水流速度为v2=3m/s，方向与河岸平行，则：
（1）欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
（2）欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
（3）若水流速度为v2=5m/s，船在静水中的速度为v1=4m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
【答案】（1）船头垂直于河岸，25s，125m；（2）船的实际速度方向垂直于河岸，船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为，；（3）不能垂直河岸渡河
【详解】（1）由题意知，当船在垂直于河岸方向上的速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸对岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为
由题意可得
代入得
s=125 m
（2）分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1=4m/s，大于水流速度v2=3m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图乙所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有
v1cs θ=v2
得
得
故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为，所用的时间为
（3）当水流速度v2=5m/s大于船在静水中的速度v1=4m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河。
六．船速小于水速时最短过河位移问题（共5小题）
25．（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）一艘小船要从河的此岸驶向对岸，假设河岸是平直的，河水流速为v1，小船在静水中的速度为v2，现要求小船行驶的路程最短，则小船船头指向（ ）
A．与河岸成一定角度，斜向上游
B．与河岸成一定角度，斜向下游
C．与河岸垂直，指向对岸
D．与河岸平行，指向上游
【答案】A
【详解】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，小船垂直于河岸方向的分速度使小船到对岸，沿河岸的分速度与河水速度的合速度使小船沿河岸方向运动；要求小船行驶的路程最短，则小船船头与河岸成一定角度，斜向上游。
故选A。
26．（2023下·江西南昌·高一统考期中）如图，小船从河岸A点过河，船头与河岸所成的夹角始终为，航行轨迹是从A点到点的直线，航行轨迹与河岸的夹角为。已知河宽为，船在静水中的速度，，，，下列说法正确的是（ ）
A．河水的流速大小为B．船的实际速度大小为
C．渡河时间为D．是小船渡河的最短路径
【答案】D
【详解】AB．由于，可知船在静水中的速度与船的合速度垂直，如图所示
由图示的几何关系可知
，
可得河水的流速大小
船的实际速度大小
故AB错误；
C．船在垂直河岸的分速度为，渡河时间
代入数据可得
故C错误；
D．以末端为圆心，以为半径做圆如图所示，此圆恰好与相切，可知是船渡河的最短路径，故D正确。
故选D。
27．（2022上·江西抚州·高一统考阶段练习）（多选）某人想划一条船渡过一条宽为的河，他在静水中划船的速度大小为，河水流动的速度大小为。对于这次划船过河，下列说法正确的是（ ）
A．他要想到达河的正对岸就得船头始终垂直于河岸划船
B．他要想节省过河时间就得船头始终垂直于河岸划船
C．他要想少走点路就得船头始终垂直于河岸划船
D．他不可能到达河的正对岸
【答案】BD
【详解】A D．由于水速大于船速，无论怎么开，都不可能到达河的正对岸，故A错误，D正确；
B．朝着正对岸划船，过河时间最短，故他要想以最短时间过河就得船头始终垂直于河岸划船，故B正确；
C．
根据最短路程时有
得
故他要想少走点路就得船头始终沿着与河岸夹角为指向上游方向航行，故C错误。
故选BD。
28．（2023上·福建泉州·高三晋江市毓英中学校考期中）小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为5m/s，船在静水中的航速是4m/s，要使小船渡河时间最短，最短渡河时间是 s。要使小船航程最短，船头与河岸的夹角为 ，最短航程是 m。
【答案】 50
【详解】[1][2][3]当船头与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为
因为水流速度大于船的速度，则水流速度和船速、合速度满足如图关系，位移最小
所以
最小位移
29．（2024上·山东日照·高一校联考阶段练习）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河的宽度，河水的流速，方向如图所示，（）。
（1）若小船在静水中的速度，以最短的时间到达河对岸，求小船的位移s；
（2）若小船在静水中的速度，以最小的位移到达河对岸，求小船的渡河时间t；
（3）若小船相对于水的速度（即静水中的速度）大小保持不变，为了避险，小船沿虚线从A到B再到C，所用时间为，完成救援任务后再沿着虚线从C到B再返回到A，所用时间为，已知A、B连线垂直于河岸，B、C连线平行于河岸，且，，不计小船在B点转变方向的时间。求与的比值。
【答案】（1），与河岸的夹角的正切值为；（2）；（3）
【详解】（1）以最短的时间渡河，则船头垂直于河岸，渡河时间
沿着河岸方向的位移
垂直于河岸方向的位移就等于d，则小船的位移
与河岸的夹角的正切值为
（2）由于，船头与合速度的方向垂直时渡河位移最小，设位移为，有
渡河时间
（3）小船的合速度方向沿着A、B连线，当小船从A点运动到B点时，设合速度为
从B点运动到C点时，设合速度为
从C点运动到点B时，设合速度为
从B点运动到A点时，运动时间等于
七．斜牵引运动的运动分解（共7小题）
30．（2021下·内蒙古赤峰·高一校考期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将小船的速度沿着绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示
沿着绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，即
所以
故选C。
31．（2023上·云南·高一校联考期末）有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。如图所示，当绳与轨道成30°角时，物块A和B的速度大小之比为（ ）
A．1:1B．1:2C．D．
【答案】C
【详解】将B的速度分解，如图所示，
则有
解得
故选C。
32．（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）如图所示，质量为m的物块P置于倾角为的光滑斜面上，斜面放在粗糙的水平地面上始终保持静止、细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车受水平向右的牵引力，拉着物块P以速度v沿斜面向上做匀速直线运动。图示小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为，（ ）
A．小车正以做匀速运动
B．斜面受到地面的摩擦力，并保持不变
C．小车在运动过程中，对地面的压力在增大
D．小车在运动过程中，牵引力一定在增大
【答案】C
【详解】A．将小车的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图所示
小车沿绳方向的速度等于P的速度，即
随着小车向右运动，夹角变小，小车速度变小，所以小车并不是匀速运动，故A错误；
B．物块P以速度v沿斜面向上做匀速直线运动，所以绳中拉力
不变，对P和斜面整体分析，斜面受到地面的摩擦力
因为夹角变小，所以摩擦力不是恒力，故B错误；
C．设小车质量为M，小车在运动过程中，对地面的压力
拉力不变，变小，N在增大，故C正确；
D．根据A分析可知，小车速度变小，做减速运动，合力向左，无法确定牵引力变化，故D错误。
故选C。
33．（2023下·福建泉州·高一晋江市第一中学校考期中）（多选）如图所示，一段绳子跨过距地面高度为H的两个定滑轮，绳子一端连接小车P，另一端连接物块Q，当小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，下列说法正确的是（ ）
A．小车P做匀速运动B．小车P做减速运动
C．绳子对物块Q的拉力大小不变D．小车P对地面的压力逐渐减小
【答案】BC
【详解】AB．将小车P的速度分解到沿绳子方向和垂直于绳子方向，如下图所示
小车P沿绳子方向的分速度与物块Q的速度大小相等，则有
小车P向左行驶并带动物块Q匀速上升，即大小不变，变小，则变小，所以小车P做减速运动，故A错误，B正确；
C．物块Q匀速上升，则绳子对物块Q的拉力大小等于物块Q的重力大小保持不变，故C正确；
D．设绳子拉力为T，对小车P分析，在竖直方向上则有
物块Q匀速上升，绳子拉力T大小不变，逐渐变小，则地面对小车的支持力逐渐变大，所以小车P对地面的压力逐渐变大，故D错误。
故选BC。
34．（2023上·安徽合肥·高三校联考阶段练习）（多选）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，在圆环的最高点O固定一个光滑的小环，穿过小环的细线两端分别连接着质量为的小球A和质量为m的小球B，A、B两球套在圆环上，用沿圆环切线方向的力F作用在B球上，使A、B保持静止，此时A、B连线刚好是圆环的直径，A、B连线与水平方向夹角为，撤去作用在小球B点的力后，两个小球由静止开始运动。已知重力加速度为g，不计小环和小球大小，运动过程中整个系统无能量损失。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小相等
D．当A球下降高度R到P位置时，A、B两球速度大小关系为
【答案】AD
【详解】AB．开始时，对小球A研究，根据力的平衡，细线拉力
对小球B研究
解得
故A正确、B错误；
CD．当A球下降高度R到P位置时，B球上升的高度也为R，此时A、B两球的连线仍过圆心，由沿绳方向的速度相等得
解得
故C错误，D正确。
故选AD。
35．（2023下·安徽池州·高一统考期中）如图，物体A以速度v沿竖直杆匀速下滑，物体B在水平面上用细绳跨过定滑轮与A相连，当绳与水平面成θ时，物体B的速率为 ，B做 （填“加速”、“减速”或“匀速”）运动。
【答案】 vsinθ 加速
【详解】[1] 将A下降的速度分解为沿绳的速度和垂直于绳的速度，如图所示
B物体运动的速率为
[2]由于A做匀速直线运动，即v不变，随着A下降θ增大，所以B的速率增大，即B做加速运动。
36．（2023下·高一课时练习）如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球水平速度为，加速度大小为，杆与竖直夹角为，求此时A球速度和加速度大小。
【答案】，
【详解】由速度的合成与分解可知，将两球的速度分解，如图所示
则有
而
那么两小球实际速度之比
故
同理，小球加速度大小之比
故
八．合运动与分运动的概念及关系（共4小题）
37．（2024下·高一课时练习）现在自然灾害日益严重，在救灾过程中有时不得不出动军用直升机为被困灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，当物资从直升机上由静止投下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，物资下落时间越长
B．物资速度方向一定每时每刻都在变化
C．物资下落时间与风力无关
D．物资着地速度与风力无关
【答案】C
【详解】AC．分运动与合运动具有等时性，物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等，分运动与分运动具有独立性，水平风力不会影响竖直方向运动，所以物资下落时间与风力无关，故A错误，C正确；
B．如水平风力大小也不变，物资在竖直方向和水平方向都做初速度为零的匀加速直线运动，所以合运动为初速度为零的匀加速直线运动，物资速度方向不变，故B错误；
D．物资着地时竖直方向速度与风力无关，但水平方向速度与风力有关，所以合速度与风力有关，故D错误。
故选C。
38．（2023上·浙江·高二统考学业考试）如图所示是小船过河的情景，已知水流速度恒定，根据合运动与分运动的关系，以下分析正确的是（ ）
A．要想时间最短，船头应该朝向上游如图中2的方向
B．要想到达C点，船头应该朝向下游如图中的3方向
C．要想位移最短，船头应该指向1的方向
D．若船头朝向2，可能会在C点靠岸
【答案】D
【详解】A．要想时间最短，船头应垂直河岸，应朝向图中1的方向，故A错误；
B．要想到达C点，合速度方向沿图中3方向，所以当水的流速大于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的2方向，当水的流速小于船在静水中的速度时，船头可朝向图中的1方向，故B错误，D正确；
C．当合速度方向指向1时渡河位移最短，则船头指向1时位移不是最短的，故C错误。
故选D。
39．（2023下·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）（多选）关于运动的合成，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度可能比分运动的速度小
B．两个分运动的时间，一定与它们合运动的时间相等
C．两个不沿一直线的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
D．两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
【答案】ABC
【详解】A．根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A正确；
B．分运动与合运动具有等时性，故B正确；
C．两个匀速直线运动的合运动，则没有加速度，一定是匀速直线运动，故C正确；
D．平抛运动是曲线运动，是水平匀速直线和竖直方向的自由落体运动的两个直线运动的合运动，所以两个分运动是直线运动的合运动，不一定是直线运动，故D错误。
故选ABC。
40．（2022·高一课时练习）某飞机以仰角起飞，起飞时初速度大小为。假设其做加速度大小为的匀加速直线运动。则：
（1）起飞后末飞机离地面多高？
（2）此时刻飞机距起飞点的水平距离为多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据匀加速直线运动的位移公式可得
根据几何关系可得上升的高度为
（2）此时刻飞机距起飞点的水平距离为
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