人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列随堂练习题

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知识点一 等比数列的概念
思考1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，…
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
思考2 类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.
(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
(2)递推公式形式的定义＝q(n>1).(或＝q，n∈N*)
(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.
知识点二 等比中项的概念
思考1 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
【答案】设这个数为G.则，G2＝16，G＝±4.这样的数有2个.
思考2 对比等差中项与等比中项的异同，完成表格
知识点三 等比数列的通项公式
思考 类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式.
【答案】根据等比数列的定义得：
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴an＝a1qn－1(n∈N*).
知识点四 等比数列通项公式的推广
思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
【答案】在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*).
思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？
【答案】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，差的正负由a1，q，q－1的正负共同决定.
当或时，{an}是递增数列；
当或时，{an}是递减数列；
q＜0时，{an}是摆动数列，
q＝1时，{an}是常数列.
知识点五 由等比数列衍生的等比数列
思考1 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列.
【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
思考2 试把思考1推广到一般的等比数列.
【答案】(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列.
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列.
知识点六 等比数列的性质
思考1 在等比数列{an}中，aeq \\al(2,5)＝a1a9是否成立？aeq \\al(2,5)＝a3a7是否成立？aeq \\al(2,n)＝an－2an＋2(n>2)是否成立？
【答案】∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aeq \\al(2,1)q8＝(a1q4)2＝aeq \\al(2,5)，aeq \\al(2,5)＝a1a9成立.
同理aeq \\al(2,5)＝a3a7成立，aeq \\al(2,n)＝an－2·an＋2也成立.
思考2 由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？
【答案】一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).
若m＋n＝2k，则am·an＝aeq \\al(2,k)(m，n，k∈N*).
证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，
∴am·an＝aeq \\al(2,1)qm＋n－2，
同理，as·at＝aeq \\al(2,1)qs＋t－2，
∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.
若m＋n＝2k，则am·an＝aeq \\al(2,k).
知识点七 等比数列的前n项和公式的推导
思考1 对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1≈1.84×1019.
思考2 类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{an}的前n项和Sn?
【答案】设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.
Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝.
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
思考3 等比数列前n项和公式：
Sn＝
知识点八 等比数列的前n项和公式的应用
思考1 怎样求等比数列前8项的和：
(1)若已知前三项，，，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1＝27，a9＝，q＝－.用哪个公式比较合适？
【答案】(1)用Sn＝；(2)用Sn＝.
思考2 一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？
【答案】(1) 一定不要忽略q＝1的情况；
(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1、an和q，可以用；
(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余.
知识点九 等比数列前n项和公式的函数特征
思考1 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
【答案】当Sn＝2n－1时，an＝
＝n∈N*，是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝不是等比数列.
思考2 对于一般的等比数列，前n项和有什么特征？
【答案】当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝＝.设A＝，则上式可以写为Sn＝A(qn－1).
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点十 错位相减法
思考1 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.
思考2 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，上述方法还能不能用？
【答案】 能用.
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①
qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq
＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②
①－②：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1，
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋d－anbn＋1，
∴Sn＝
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
【答案】A
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{an}中，an＋1