高中数学第四章 数列4.2 等差数列练习

这是一份高中数学第四章 数列4.2 等差数列练习，文件包含专题42等差数列原卷版-2020-2021学年高二数学同步培优专练人教A版2019选择性必修第二册docx、专题42等差数列解析版-2020-2021学年高二数学同步培优专练人教A版2019选择性必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
知识点一 等差数列的概念
思考1 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20.
(2)4,4,4,4，….
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？
【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.
知识点二 等差中项的概念
思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
【答案】插入的数分别为3,2，eq \f(a＋b,2)，0.
思考2 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.
【答案】∵x，A，y组成等差数列，
∴A－x＝y－A，∴2A＝x＋y，
∴A＝eq \f(x＋y,2).
知识点三 等差数列的通项公式
思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋d＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋d＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
【答案】n－1
思考2 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示an吗？
【答案】an＝a1＋(n－1)d.
知识点四 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
【答案】设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
思考2 由思考1可得d＝eq \f(an－a1,n－1)，d＝eq \f(an－am,n－m)，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
【答案】等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝eq \f(an－a1,n－1).当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝eq \f(an－am,n－m).
知识点五 等差数列的性质
思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？
【答案】利用1＋100＝2＋99＝….
思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，
有：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点六 由等差数列衍生的新数列
思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论：
若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
此处以{an＋an＋k}为例.
(an＋1＋an＋k＋1)－(an＋an＋k)＝an＋1－an＋an＋k＋1－an＋k＝2d.
∴{an＋an＋k}是公差为2d的等差数列.
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【解析】∵，∴.∴n＝10，故选B.
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100 B．101
C．200 D．201
【答案】A
【解析】由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，
∴S200＝(a1＋a200)＝100.
4．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35
C．66 D．100
【答案】C
【解析】易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an＞0则2n－5＞0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
A．18 B．19
C．20 D．21
【答案】C
【解析】∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，
∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，
令an＞0，∴41－2n＞0，
∴n＜，
∴n≤20.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.
7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
【答案】B
【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
8．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
【答案】C
【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
即6a1＋(n＋12)d＝24.
又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，解得n＝18.
二、多选题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a70
B．－