数学4.3 等比数列课时练习

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典

4.2 等比数列 解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题

1．已知是数列的前项和，，则数列是（    ）

A．公比为3的等比数列 B．公差为3的等差数列

C．公比为的等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列

【答案】D

【解析】

【分析】

由得，然后利用与的关系即可求出

【详解】

因为，所以

所以当时，

时，

所以

故数列既非等差数列，也非等比数列

故选：D

【点睛】

要注意由求要分两步：1. 时，2. 时.

2．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.

【详解】

设等比数列公比为

当时，，不符合题意，

当时，，

得，又，

由，得，

，故选D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.

3．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（    ）

A．“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列

B．“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列

C．“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列

D．“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列

【答案】C

【解析】

【分析】

根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果．

【详解】

设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，

“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，

“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，

最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，

由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，

故选：C．

【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

4．设，．若p：成等比数列；

q：，则（ ）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】A

【解析】

对命题p：成等比数列，则公比且；

对命题，①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式，等式成立，

则，所以成等比数列，

所以是的充分条件，但不是的必要条件．

考点：等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件．

5．已知数列：，，，，，..，，，，，，，…的前n项和为，正整数，满足：①，②是满足不等式的最小正整数，则（    ）

A．6182 B．6183 C．6184 D．6185

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项．将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，那么位于数阵第11行最后一项，通过计算得；设数阵中第k行各项之和为，则，故通过计算可得满足的最小正整数，即可得出最后结果.

【详解】

由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项．将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，如下所示：

对于①，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为

，

∴；

对于②，数阵中第k行各项之和为，

则，

且数列的前k项之和

，

，

而，

故恰好满足的项位于第11行．

假设位于第m项，则有

，

可得出．

由于，，

则，∴．

因为前10行最后一项位于的第

项，

因此，满足的最小正整数，

所以．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列的前项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.

6．已知函数，，为x轴上的点，且满足，，过点分别作x轴垂线交于点，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，其中，则满足条件的p，q共有（    ）

A．0对 B．1对 C．2对 D．无数对

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可得，，，，由与相似得到或，再分情况讨论即可得到答案.

【详解】

如图，由题意，，的纵坐标为，

所以，，，，

与均为直角三角形，故与相似

或.

当时，，无解；

当时，，所以

．故存在两对满足条件的，，分别为，或，．

故选：C

【点睛】

本题考查数列与函数的应用，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道中档题.

二、多选题

7．数列为等比数列（    ）.

A．为等比数列

B．为等比数列

C．为等比数列

D．不为等比数列（为数列的前项）

【答案】BCD

【解析】

【分析】

举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.

【详解】

解：设的公比为，

A. 设，则，显然不是等比数列.

B. ，所以为等比数列.

C. ，所以为等比数列.

D. 当时，，显然不是等比数列；

当时，若为等比数列，则，

即，所以，与矛盾，

综上，不是等比数列.

故选：BCD.

【点睛】

考查等比数列的辨析，基础题.

8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.

【详解】

若，则与矛盾；

若，则与矛盾；

因此，所以A正确；

，因此，即B正确；

因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；

因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.

9．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列 的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列满足，，，

所以，

两式相减得：，

所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；

偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；

所以数列 的通项公式是，

A. 令时， ，而 ，故错误；

B. 令时， ，而 ，故错误；

C. 当时， ，而 ，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；

D. 因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；

故选：CD

【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.

三、填空题

10．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．

【答案】9

【解析】

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．

【详解】

由题意可得：a+b=p，ab=q，

∵p＞0，q＞0，

可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，

也可适当排序后成等比数列，

可得①或②．

解①得：；解②得：．

∴p=a+b=5，q=1×4=4，

则p+q=9．

故答案为9．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．

【思路点睛】

解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．

11．等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为______

【答案】18

【解析】

【分析】

求出数列前n项的和，根据不等式之间的关系求解可得答案.

【详解】

解：由等比数列的公比，，可得，

可得：，则，且，

由为等比数列，可得是以为首项，公比为的等比数列，

则原不等式等价为：，

因为，把，代入整理得：，

可得：，，即：，

由,故答案为：18.

【点睛】

本题主要考查数列与不等式的综合，计算量大，属于中档题型.

12．平面直角坐标系中，已知点.且，当时，点无限趋近于点，则点的坐标是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

先计算的坐标，再求出的坐标，利用向量的和可求点的坐标，利用基本极限可求的坐标.

【详解】

因为，故，

因为，

故

，

故的坐标为，

因为，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前项和以及数列的极限，注意根据基本极限来求的坐标，本题综合度高，为难题.

四、解答题

13．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由可求出，根据定义求出数列的公比，从而可求出；

（2）由题意得，再用错位相减法求和即可．

【详解】

解：（1）当时，==4；

当时，，

且亦满足此关系，

∴的通项为，

设的公比为，则，则，

∴；

（2）由题意，，

而，

，

两式相减，有，

．

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题．

14．已知数列的前项和为，且满足.

（1）证明数列是等比数列；

（2）若数列满足，记数列前项和为，证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据，利用数列通项与前n项和关系，得到，再利用等比数列的定义求解.

（2）由（1）得到，则，然后利用裂项相消法求得，再根据为递增数列求解.

【详解】

（1）由题意得，当时，，

∴，即，

当时，，

∴

故是以3为首项，3为公比的等比数列

（2）由（1）可知，

∴，

∴

∴

因为时，，

所以为递增数列，故

因为，则，故

所以

【点睛】

本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15．已知数列满足,,,.

(1)证明:数列是等比数列;

(2)求数列的通项公式;

(3)证明:.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.

【详解】

(1)因为，所以，

因为，所以，

所以数列是等比数列；

(2)因为，所以，

所以，

又因为，所以，所以是以为首项，

为公比的等比数列，所以，

所以；

(3)①当时，；

②若n是偶数，

则，

所以当n是偶数时，

；

③当n是奇数，且时，

；

综上所述，当时，.

【点睛】

本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.

16．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，.

（1）求等比数列的通项公式

（2）若，，求前2020项和；

（3）若，，，是与的等比中项且，对任意， ，求ρ取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3），．.

【解析】

【分析】

（1）设等比数列的公比为．可知若时，原题意不成立；当时，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；

（2），，由裂项相消法求和；

（3）由已知可得，，利用等比数列的求和公式分别求得与，得到，再由数列的函数特性分类求出的范围，则答案可求．

【详解】

（1）设等比数列的公比为．

若，由，求得，与矛盾；

若，由已知有，解得．

；

（2），，

则

；

（3）由已知可得，

，则．

，．

．

当为偶数时，单调递增，，，；

当为奇数时，单调递减，，，．

故．

取值范围为，．

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前项和的求法，训练了裂项相消法求数列的前项和以及数列的单调性与最值，是难题．