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人教版2025年八年级下册第16章《二次根式》单元知识分类训练 含答案解析
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人教版2025年八年级下册第16章《二次根式》单元知识分类训练一.二次根式有意义的条件1.已知3x−6+6−3x+y=2024,则2024xy的值为( )A.20243 B.20242 C.2024 D.20252.已知y=x−5+25−x+6,则(x﹣y)2025= .3.已知a满足|2023−a|+a−2024=a.(1)a−2024有意义,a的取值范围是 ;则在这个条件下将|2023﹣a|去掉绝对值符号可得|2023﹣a|= .(2)根据(1)的分析,求a﹣20232的值.4.已知实数a,b满足a=b2−9+9−b2+6b−3,求|a−2b|−12ab的值.二.二次根式的性质与化简5.下列计算正确的是( )A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.(﹣a)2=a2 D.a2=a6.将a−1a根号外的因式移到根号内,得( )A.−a B.−−a C.−a D.a7.下列运算中,正确的是( )A.(−2)2=−2 B.72=±7 C.−52=−5 D.−(−3)2=38.若A(x,y)在第二象限,则x2+y2= .9.若0<x<1,化简(x−1x)2+4−(x+1x)2−4= .10.若实数m满足(m−2)2=2−m,则m的取值范围是 .11.比较下列两个数的大小:515 616.(用“>”或“<”号填空)12.设a、b、c分别是三角形三边的长,则(a−b−c)2+(b−c−a)2= .13.已知m是5的小数部分,则m2+1m2−2的值为 .14.请观察式子9127=9227=3,﹣212=−222=−2成立吗?仿照上面的方法解决问题:(1)化简:①525;②﹣737;③a−1a(a<0).(2)把(1﹣a)1a−1中根号外的因式移到根号内,化简的结果是 .15.阅读下面的解答过程,然后作答:有这样一类题目:将a+2b化简,若你能找到两个数m和n,使m2+n2=a2且mn=b,则a+2b可变为m2+n2+2mn,即变成(m+n)2,从而使得a+2b化简.例如:∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+26=(3+2)2,∴5+26=(3+2)2=3+2.请你仿照上例化简下面问题:(1)4+23; (2)7−210.16.有这样一类题目:将a±2b化简,如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=b,则将a±2b将变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2开方,从而使得a±2b化简.例如,5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+23⋅2=(3+2)2,∴5+26=(3+2)2=3+2请仿照上例解下列问题:(1)8−215;(2)8−48.17.小明在解决化简3+22的过程中发现,通过完全平方公式可以将这个代数式化简.例如:3+22=(2)2+22+12=(2+1)2=2+1.(1)请你仿照小明的方法化简:6−25.(2)计算:23−22+17−122.三.最简二次根式18.在9x、45、ab4、ab、23中,最简二次根式的个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个19.二次根式ab3、a2+1、b5、32中最简二次根式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个20.若3m−4是最简二次根式,且m为整数,则m的最小值是 .四.二次根式的乘除法21.若x(x−6)=x⋅x−6则( )A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数22.若xx−4=xx−4在实数范围内成立,则x的取值范围是( )A.x≥0 B.x≥4 C.0≤x<4 D.x>423.计算:54xy⋅y25x(x>0).五.分母有理化24.已知:a=12−3,b=12+3,则a与b的关系是( )A.a﹣b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b225.比较大小:2−3 12+3.(填“>”“<”或“=”)26.分母有理化:123−32= .六.同类二次根式27.下列二次根式中,与5是同类二次根式的是( )A.25 B.15 C.10 D.5028.最简二次根式2m−1与34−3m是同类二次根式,则m= .29.若最简二次根式x2−4x与38+3x是同类二次根式,则x的值是 .30.已知x+1为最简二次根式,且能够与12合并,则x的值是 .31.如果最简二次根式2a+1与a2−2能进行合并,且a≤x≤2a,化简:|x−2|+x2−12x+36.七.二次根式的加减法32.若5+5=M,则M=( )A.5 B.10 C.20 D.25八.二次根式的混合运算33.下列运算正确的是( )A.2+3=5 B.33−3=3 C.24÷6=4 D.3×5=1534.化简(3−2)2024×(3+2)2024的结果为( )A.1 B.3−2 C.3+2 D.−3−235.计算:(1)6×(16−6)(2)|3−2|+|3−2|+(−2)2.36.计算:48−20.75−613−12−3.37.(1)(48−418)−(313−20.5); (2)(23−1)2−(5−2)2024(5+2)2023.38.阅读:在进行二次根式运算时,形如45−1的式子,我们可以将其化简:45−1=4×(5+1)(5−1)(5+1)=4×(5+1)5−1=5+1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.回答问题:(1)请用上述的方法化简46−2;(2)化简:42+2+42+6+46+8+⋯42m+2m+2(m为正整数).39.阅读下面问题:11+2=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1 13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2;15+2=5−2(5+2)(5−2)=5−2 (1)直接写出:①17+6的值为 ;②132+17的值为 ;(2)试求12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024的值.40.认识概念:一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.如:3⋅3=3;(2+1)⋅(2−1)=2−1=1,我们称3的一个有理化因式为3,2+1的一个有理化因式是2−1.二、如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫做分母有理化.如:12+3=1×(2−3)(2+3)⋅(2−3)=2−3.理解应用:(1)填空:5−2的有理化因式是 ;将232分母有理化得 ;(2)化简:310+7+37+2−510;拓展应用:(3)利用以上解题方法比较3−22与5−26的大小,并说明理由.九.二次根式的化简求值41.已知a=7−1,则代数式a2+2a+1的值是 .42.已知x=23−1,则代数式x2+2x+2的值为 .43.已知a=7−26,b=7+26.(1)求a2﹣b2的值.(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求mn的值.44.已知x=7−52,y=7+52,求下列各式的值.(1)1x+1y;(2)xy+yx.45.已知a=2−1,b=2+1.求:(1)a2b+ab2的值;(2)ba+ab的值.46.已知:a=15−2,b=15+2.(1)求a2+b2﹣ab的值;(2)若m为a整数部分,n为b小数部分,求mn的值.47.我们知道(13+3)(13−3)=4,因此在计算113−3时,分子和分母同时乘以13+3,从而将分母中含有的根号通过化简去掉,这就是分母有理化.(1)化简:14+15;(2)若a=13−7,求4a2﹣12a+5的值;(3)若a=16−5,b=15−2,比较a和b的大小.十.二次根式的应用48.小明家装修,电视背景墙长BC为27m,宽AB为8m,中间要镶一个长为23m,宽为2m的大理石图案(图中阴影部分).除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,求壁布的面积.(结果化为最简二次根式)人教版2025年八年级下册第16章《二次根式》单元知识分类训练解析卷一.二次根式有意义的条件1.已知3x−6+6−3x+y=2024,则2024xy的值为( )A.20243 B.20242 C.2024 D.2025【分析】根据二次根式有意义的条件求得x=2,则y=2024,然后代入求值即可.【解答】解:根据题意知:3x−6≥06−3x≥0.所以x=2.所以y=2024,所以2024xy=2024×2×2024=20242.故选:B.2.已知y=x−5+25−x+6,则(x﹣y)2025= ﹣1 .【分析】根据二次根式有意义列出x−5≥05−x≥0,求出x的值,即可求出y的值,然后代入计算即可.【解答】解:根据题意得,x−5≥05−x≥0,解得x=5,∴y=6,∴(x﹣y)2025=(5﹣6)2025=(﹣1)2025=﹣1,故答案为:﹣1.3.已知a满足|2023−a|+a−2024=a.(1)a−2024有意义,a的取值范围是 a≥2024 ;则在这个条件下将|2023﹣a|去掉绝对值符号可得|2023﹣a|= a﹣2023 .(2)根据(1)的分析,求a﹣20232的值.【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出a的范围,再根据绝对值的性质化简;(2)去掉绝对值符号,然后根据二次根式的性质求解即可.【解答】解:(1)∵a−2024有意义,∴a﹣2024≥0,解得a≥2024,∴|2023﹣a|=a﹣2023,故答案为:a≥2024,a﹣2023.(2)则原方程为a−2023+a−2024=a,即a−2024=2023,∴a﹣2024=20232,即a﹣20232=2024.4.已知实数a,b满足a=b2−9+9−b2+6b−3,求|a−2b|−12ab的值.【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出b2﹣9≥0且9﹣b2≥0且b﹣3≠0,求出b=﹣3,代入求出a=﹣1,最后代入求出答案即可.【解答】解:要使a=b2−9+9−b2+6b−3有意义,必须b2﹣9≥0且9﹣b2≥0且b﹣3≠0,解得:b=﹣3,所以a=0+0+6−3−3=−1,即|a−2b|−12ab=|﹣1﹣2×(﹣3)|−12×(−1)×(−3)=|﹣1+6|−36=5﹣6=﹣1.二.二次根式的性质与化简5.下列计算正确的是( )A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.(﹣a)2=a2 D.a2=a【分析】利用合并同类项法则,同底数幂除法法则,幂的乘方,二次根式逐项判断即可.【解答】解:A、a3+a3=2a3,故A选项错误;B、a6÷a3=a3,故B选项错误;C、(﹣a)2=a2,故C选项正确;D、a2=a(a≥0)−a(a<0),故D选项错误;故选:C.6.将a−1a根号外的因式移到根号内,得( )A.−a B.−−a C.−a D.a【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号,进而变形得出答案.【解答】解:a−1a=−a2×(−1a)=−−a.故选:B.7.下列运算中,正确的是( )A.(−2)2=−2 B.72=±7 C.−52=−5 D.−(−3)2=3【分析】根据二次根式的性质a2=|a|进行计算即可求解.【解答】解:A选项:(−2)2=|−2|=2,故A选项错误;B选项:72=|7|=7,故B选项错误;C选项:−52=−|5|=−5,故C选项正确;D选项:−(−3)2=−|−3|=−3,故D选项错误.故选:C.8.若A(x,y)在第二象限,则x2+y2= ﹣x+y .【分析】根据A(x,y)在第二象限,得出x<0,y>0,再根据二次根式的性质化简即可.【解答】解:∵A(x,y)在第二象限,∴x<0,y>0,∴x2+y2=−x+y.故答案为:﹣x+y.9.若0<x<1,化简(x−1x)2+4−(x+1x)2−4= 2x .【分析】由(x−1x)2+4=(x+1x)2,(x+1x)2−4=(x−1x)2,又0<x<1,则有1x−x>0,通过变形化简原式即可得出最终结果.【解答】解:原式=(x+1x)2−(x−1x)2=x+1x−(1x−x)=2x.10.若实数m满足(m−2)2=2−m,则m的取值范围是 m≤2 .【分析】根据二次根式的性质即可求出m的取值范围.【解答】解:由题意可知:2﹣m≥0,解得:m≤2,故答案为:m≤2.11.比较下列两个数的大小:515 < 616.(用“>”或“<”号填空)【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可.【解答】解:515=5×55=5,616=6×66=6,∵5<6,∴515<616.故答案为:<.12.设a、b、c分别是三角形三边的长,则(a−b−c)2+(b−c−a)2= 2c .【分析】先利用三角形的三边关系,再化简二次根式.【解答】解:(a−b−c)2+(b−c−a)2=|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|.∵a、b、c分别是三角形三边的长,∴b+c>a,a+c>b.∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(b﹣c﹣a)=b+c﹣a+a+c﹣b=2c.故答案为:2c.13.已知m是5的小数部分,则m2+1m2−2的值为 4 .【分析】先估算得到m=5−2,则1m=15−2=5+2,即1m>m,利用完全平方公式得到原式=(m−1m)2,再根据二次根式的性质得到原式=|m−1m|,去绝对值得原式=﹣m+1m,然后把m和1m的值代入计算即可.【解答】解:∵m是5的小数部分,∴m=5−2,原式=(m−1m)2=|m−1m|∵m=5−2,∴1m=15−2=5+2,即1m>m,∴原式=﹣(m−1m)=﹣m+1m=﹣(5−2)+5+2=4.故答案为:4.14.请观察式子9127=9227=3,﹣212=−222=−2成立吗?仿照上面的方法解决问题:(1)化简:①525;②﹣737;③a−1a(a<0).(2)把(1﹣a)1a−1中根号外的因式移到根号内,化简的结果是 −a−1 .【分析】根据公式当a≥0时,a=a2,把根号外的因式,平方后移入根号内即可.【解答】解:(1)①525=52×25=10;②﹣737=−72×37=−21;③a−1a=−a2a=−−a(a<0).(2)(1﹣a)1a−1=−(a−1)2a−1=−a−1.故答案为:−a−1.15.阅读下面的解答过程,然后作答:有这样一类题目:将a+2b化简,若你能找到两个数m和n,使m2+n2=a2且mn=b,则a+2b可变为m2+n2+2mn,即变成(m+n)2,从而使得a+2b化简.例如:∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+26=(3+2)2,∴5+26=(3+2)2=3+2.请你仿照上例化简下面问题:(1)4+23;(2)7−210.【分析】(1)仿照阅读材料中的方法求解即可;(2)仿照阅读材料中的方法求解即可.【解答】解:(1)∵4+23=1+3+23=12+23+(3)2 =(1+3)2,∴4+23=(1+3)2 =1+3;(2)∵7−210=5+2−210 =(5)2−2×5×2+(2)2 =(5−2)2,∴7−210=(5−2)2 =5−2.16.有这样一类题目:将a±2b化简,如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=b,则将a±2b将变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2开方,从而使得a±2b化简.例如,5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+23⋅2=(3+2)2,∴5+26=(3+2)2=3+2请仿照上例解下列问题:(1)8−215;(2)8−48.【分析】(1)结合题干思路利用配方法作答即可;(2)结合题干思路裂项构成完全平方作答即可.【解答】解:(1)∵8−215=5+3−215=(5−3)2,∴8−215=5−3;(2)∵8−48=8−212=6+2−26⋅2=(6−2)2,∴8−48=6−2.17.小明在解决化简3+22的过程中发现,通过完全平方公式可以将这个代数式化简.例如:3+22=(2)2+22+12=(2+1)2=2+1.(1)请你仿照小明的方法化简:6−25.(2)计算:23−22+17−122.【分析】(1)仿照阅读材料解答即可;(2)先化简每个根式,再合并即可.【解答】解:(1)6−25=(5)2−22+12 =(5−1)2 =5−1;(2)23−22+17−122=2(2−1)2+(3−22)2 =2(2−1)+(3−22) =22−2+3−22 =1.三.最简二次根式18.在9x、45、ab4、ab、23中,最简二次根式的个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】根据二次根式的性质化简,根据最简二次根式的概念判断即可.【解答】解:9x=3x,45=35,ab4=ab2,23=63,都不是最简二次根式,ab是最简二次根式,故选:A.19.二次根式ab3、a2+1、b5、32中最简二次根式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.【解答】解:ab3=bab、b5=5b5,即最简二次根式有a2+1和32共2个,故选:B.20.若3m−4是最简二次根式,且m为整数,则m的最小值是 2 .【分析】先根据二次根式有意义求出m的取值范围,再根据m为整数,以及最简二次根式的定义即可求出m的最小值.【解答】解:由题意得3m﹣4≥0,解得m≥43,∵m为整数,∴当m=2时,3m−4=2是最简二次根式;故答案为:2.四.二次根式的乘除法21.若x(x−6)=x⋅x−6则( )A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.【解答】解:根据题意得x≥0且x﹣6≥0,所以x≥6.故选:A.22.若xx−4=xx−4在实数范围内成立,则x的取值范围是( )A.x≥0 B.x≥4 C.0≤x<4 D.x>4【分析】根据ab=ab(a≥0、b>0)直接求解即可得到答案.【解答】解:∵xx−4=xx−4,∴x≥0,x﹣4>0,解得x>4,故选:D.23.计算:54xy⋅y25x(x>0).【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,据此可求出y≥0,再根据二次根式乘法计算法则求解即可.【解答】解:∵54xy有意义,∴xy≥0,∵x>0,∴y≥0,∴54xy⋅y25x=54xy⋅y25x =54y35 =9y2⋅30y25 =3y30y5.五.分母有理化24.已知:a=12−3,b=12+3,则a与b的关系是( )A.a﹣b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2,求出每个式子的值,即可得出选项.【解答】解:分母有理化,可得a=2+3,b=2−3,∴a﹣b=(2+3)﹣(2−3)=23,故A选项错误;a+b=(2+3)+(2−3)=4,故B选项错误;ab=(2+3)×(2−3)=4﹣3=1,故C选项正确;∵a2=(2+3)2=4+43+3=7+43,b2=(2−3)2=4﹣43+3=7﹣43,∴a2≠b2,故D选项错误;故选:C.25.比较大小:2−3 = 12+3.(填“>”“<”或“=”)【分析】利用平方差公式把12+3进行分母有理化,再比较大小即可.【解答】解:∵12+3=2−3(2+3)×(2−3)=2−34−3=2−3.故答案为:=.26.分母有理化:123−32= −33−22 .【分析】将分数的分母和分子同时乘23+32,再利用平方差公式计算即可.【解答】解:123−32=23+32(23−32)(23+32) =23+3212−18 =−33−22.故答案为:−33−22.六.同类二次根式27.下列二次根式中,与5是同类二次根式的是( )A.25 B.15 C.10 D.50【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简,根据同类二次根式的概念判断即可.【解答】解:A、25=5,与5不是同类二次根式;B、15=55,与5是同类二次根式;C、10与5不是同类二次根式;D、50=52,与5不是同类二次根式;故选:B.28.最简二次根式2m−1与34−3m是同类二次根式,则m= 7 .【分析】根据同类二次根式的定义:一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可求出答案.【解答】解:由题意可知:2m﹣1=34﹣3m,解得:m=7,故答案为:7.29.若最简二次根式x2−4x与38+3x是同类二次根式,则x的值是 ﹣1 .【分析】根据同类二次根式的定义列出方程并求解.【解答】解:由题意得,x2﹣4x=8+3x,整理,得x2﹣7x﹣8=0,解得x1=8,x2=﹣1,当x=8时,8+3x=8+3×8=8+24=32,∵32不是最简二次根式,∴x=8不符合题意;当x=﹣1时,8+3x=8+3×(﹣1)=8﹣3=5,∵5是最简二次根式,∴x=﹣1符合题意,故答案为:﹣1.30.已知x+1为最简二次根式,且能够与12合并,则x的值是 2 .【分析】先将12进行化简,再根据同类二次根式的定义进行解题即可.【解答】解:∵12=23与x+1是同类二次根式,∴x+1=3,∴x=2.故答案为:2.31.如果最简二次根式2a+1与a2−2能进行合并,且a≤x≤2a,化简:|x−2|+x2−12x+36.【分析】先根据最简二次根式2a+1与a2−2能进行合并得出2a+1=a2﹣2,求出a1=3,a2=﹣1,再根据当a=﹣1时,2a+1=﹣1<0,不符合题意,得出a=3,根据3≤x≤6,将|x−2|+x2−12x+36进行化简即可.【解答】解:由题意,得2a+1=a2﹣2,解得a1=3,a2=﹣1.当a=﹣1时,2a+1=﹣1<0,∴a=3,∴3≤x≤6,∴x﹣2>0,x﹣6≤0,∴原式=|x−2|+(x−6)2=(x﹣2)﹣(x﹣6)=x﹣2﹣x+6=4.七.二次根式的加减法32.若5+5=M,则M=( )A.5 B.10 C.20 D.25【分析】先合并同类二次根式,然后把根号外的整数变成它的平方,移到根号内与被开方数相乘,可得答案.【解答】解:∵5+5=25=4×5=20,∴M=20,故选:C.八.二次根式的混合运算33.下列运算正确的是( )A.2+3=5 B.33−3=3 C.24÷6=4 D.3×5=15【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的除法法则对C进行判断;根据二次根式的乘法法则对D进行判断.【解答】解:A. 2与3不能合并,所以A选项不符合题意;B.原式=23,所以B选项不符合题意;C.原式=24÷6=4=2,所以C选项不符合题意;D.原式=3×5=15,所以D选项符合题意;故选:D.34.化简(3−2)2024×(3+2)2024的结果为( )A.1 B.3−2 C.3+2 D.−3−2【分析】利用积的乘方变形原式为[(3−2)×(3+2)]2024,然后利用平方差公式计算即可.【解答】解:(3−2)2024×(3+2)2024=[(3−2)×(3+2)]2024 =[(3)2−22]2024 =(3﹣4)2024=(﹣1)2024=1,故选:A.35.计算:(1)6×(16−6)(2)|3−2|+|3−2|+(−2)2.【分析】(1)根据二次根式的乘除法则运算;(2)先利用二次根式的性质化简,再去绝对值,然后合并即可.【解答】解:(1)原式=6×16−6×6=1﹣6=﹣5;(2)原式=3−2+2−3+2=4−2.36.计算:48−20.75−613−12−3.【分析】先分母有理化,再把各二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可.【解答】解:原式=43−3−23−(2+3)=43−3−23−2−3=﹣2.37.(1)(48−418)−(313−20.5);(2)(23−1)2−(5−2)2024(5+2)2023.【分析】(1)先将二次根式化简,去括号,然后计算加减法即可;(2)利用完全平方公式及平方差公式、积的乘方运算进行计算即可.【解答】解:(1)原式=43−4×24−3×13+2×22=43−2−3+2 =33;(2)原式=(23)2−2×23×1+12−[(5−2)(5+2)]2023(5−2)=12−43+1−5+2 =15−43−5.38.阅读:在进行二次根式运算时,形如45−1的式子,我们可以将其化简:45−1=4×(5+1)(5−1)(5+1)=4×(5+1)5−1=5+1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.回答问题:(1)请用上述的方法化简46−2;(2)化简:42+2+42+6+46+8+⋯42m+2m+2(m为正整数).【分析】(1)分子分母都乘以有理化因式6+2,再计算即可;(2)各项进行分母有理化,再合并同类项即可.【解答】解:(1)46−2=4(6+2)(6−2)(6+2) =4(6+2)6−2 =6+2;(2)42+2+42+6+46+8+⋅⋅⋅+42m+2m+2=4(2−2)(2+2)(2−2)+4(6−2)(2+6)(6−2)+4(8−6)(6+8)(8−6)+⋅⋅⋅+4(2m+2−2m)(2m+2m+2)(2m+2−2m) =2(2−2)+2(6−2)+2(8−6)+⋅⋅⋅+2(2m+2−2m) =2(2m+2−2).39.阅读下面问题:11+2=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1 13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2;15+2=5−2(5+2)(5−2)=5−2 (1)直接写出:①17+6的值为 7−6 ;②132+17的值为 32−17 ;(2)试求12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024的值.【分析】(1)分子和分母都乘以7−6,再根据平方差公式求出即可;(2)分子和分母都乘以32−17,再根据平方差公式求出即可;(3)先分别有理化,再根据平方差公式计算,最后合并同类二次根式即可.【解答】解:(1)17+6=1×(7−6)(7+6)(7−6)=7−6;故答案为:7−6;(2)132+17=1×(32−17)(32+17)×(32−17)=32−17;故答案为:32−17;(3)12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024=1×(2−1)(2+1)×(2−1)+1×(3−2)(3+2)×(3−2)+⋯+2025−2024(2025+2024)(2025−2024) =2−1+3−2+4−3+⋯+2025−2024 =﹣1+2025=﹣1+45=44.40.认识概念:一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.如:3⋅3=3;(2+1)⋅(2−1)=2−1=1,我们称3的一个有理化因式为3,2+1的一个有理化因式是2−1.二、如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫做分母有理化.如:12+3=1×(2−3)(2+3)⋅(2−3)=2−3.理解应用:(1)填空:5−2的有理化因式是 5+2 ;将232分母有理化得 23 ;(2)化简:310+7+37+2−510;拓展应用:(3)利用以上解题方法比较3−22与5−26的大小,并说明理由.【分析】(1)根据材料提示的分母有理化方法,二次根式的性质,二次根式的乘法运算法则即可求解;(2)根据二次根式的混合运算法则,二次根式的性质化简即可求解;(3)根据题意可得3−22=13+22,5−26=15+26,再根据实数比较大小的方法即可求解.【解答】解:(1)∵(5−2)×(5+2)=(5)2−22=5−4=1,∴5−2的有理化因式是5+2,∵2×232×2=23,∴将232分母有理化得23,故答案为:5+2,23;(2)原式=3(10−7)(10+7)(10−7)+3(7−2)(7+2)(7−2)−5⋅1010⋅10=3(10−7)3+3(7−2)3−5⋅1010 =(10−7)+(7−2)−1210 =10−7+7−2−1210 =1210−2;(3)3−22>5−26,理由如下:将原式进行分母有理化可得:3−22=13+22,5−26=15+26,∵3+22<5+26,∴3−22>5−26.九.二次根式的化简求值41.已知a=7−1,则代数式a2+2a+1的值是 7 .【分析】根据完全平方公式,得出a2+2a+1=(a+1)2,再把a=7−1代入,结合二次根式的性质,计算即可得出答案.【解答】解:∵a2+2a+1=(a+1)2,又∵a=7−1,∴原式=(7−1+1)2=(7)2=7.故答案为:7.42.已知x=23−1,则代数式x2+2x+2的值为 13 .【分析】先表示出x+1的值,再将代数式利用完全平方公式进行变形为(x+1)2+1,再将数值代入即可求出结果.【解答】解:∵x=23−1,∴x+1=23.∴x2+2x+2=(x+1)2+1=(23)2+1=13.故答案为:13.43.已知a=7−26,b=7+26.(1)求a2﹣b2的值.(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求mn的值.【分析】(1)首先求出a+b=14,a−b=−46,然后利用平方差公式求解即可;(2)首先利用无理数的估算求出m=2,n=26−4,然后代入mn求解即可.【解答】解:(1)∵a=7−26,b=7+26,∴a+b=(7−26)+(7+26)=14,a−b=(7−26)−(7+26)=−46,∴a2−b2=(a+b)(a−b)=14×(−46)=−566;(2)∵26=24,∵4<24<5,∴−5<−24<−4∴2<7−24<3,∴即2<7−26<3,∵m为a的整数部分,∴m=2,∵11<7+24<12,即11<7+26<12,∵n为b的小数部分,∴n=7+26−11=26−4,∴mn=226−4=2×(26+4)(26−4)×(26+4)=46+88=6+22.44.已知x=7−52,y=7+52,求下列各式的值.(1)1x+1y;(2)xy+yx.【分析】(1)先根据题意得出x+y与xy的值,代入代数式进行计算即可;(2)根据(1)中出x+y与xy的值,代入代数式进行计算即可.【解答】解:(1)∵x=7−52,y=7+52,∴xy=7−52•7+52=7−54=12;x+y=7−52+7+52=7,∴原式=y+xxy=712=27;(2)由(1)知,xy=12,x+y=7,∴原式=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=(7)2−2×1212=7−112=12.45.已知a=2−1,b=2+1.求:(1)a2b+ab2的值;(2)ba+ab的值.【分析】(1)先根据条件求出ab和a+b的值,然后把所求代数式分解因式,再整体代入求值即可;(2)把所求分式通分进行计算,然后利用完全平方公式把(1)中所求结果代入计算即可.【解答】解:(1)∵a=2−1,b=2+1.∴ab=(2−1)(2+1)=2−1=1,a+b=2−1+2+1=22,∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×22 =22;(2)由(1)可知:ab=1,a+b=22,∴ba+ab=b2ab+a2ab =a2+b2ab =(a+b)2−2abab =(22)2−2×11 =8﹣2=6.46.已知:a=15−2,b=15+2.(1)求a2+b2﹣ab的值;(2)若m为a整数部分,n为b小数部分,求mn的值.【分析】(1)先化简a和b,将代数式转化为(a+b)2﹣3ab,再将a+b=25,ab=1代入求值即可;(2)求出m,n的值,再求出代数式的值即可.【解答】解:(1)∵a=15−25+2(5−2)(5+2)=5+2,b=5−2(5+2)(5−2)=5−2,∴a+b=5+2+5−2=25,ab=(5+2)(5−2)=1,∴a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=(25)2﹣3×1=20﹣3=17;(2)∵4<5<9,∴2<5<3,∴4<5+2<5,∴0<5−2<1,∴m=4,n=5−2,∴mn=45−2=4(5+2)(5−2)(5+2)=45+8.47.我们知道(13+3)(13−3)=4,因此在计算113−3时,分子和分母同时乘以13+3,从而将分母中含有的根号通过化简去掉,这就是分母有理化.(1)化简:14+15;(2)若a=13−7,求4a2﹣12a+5的值;(3)若a=16−5,b=15−2,比较a和b的大小.【分析】(1)根据题干给定的方法进行求解即可;(2)先将a=13−7进行分母有理化得到a=3+72,再代4a2﹣12a+5中计算即可;(3)将a、b进行分母有理化,再比较即可.【解答】解:(1)原式=4−15(4+15)(4−15)=4−1516−15 =4−15;(2)∵a=13−7=3+7(3−7)(3+7)=3+72,∴原式=4×(3+72)2−12×3+72+5=4×(3+7)24−6(3+7)+5 =(3+7)2−18−67+5 =9+67+7−18−67+5 =3;(3)a=16−5=6+5(6−5)(6+5)=6+5,同理,b=5+2,∵6>2,∴6+5>2+5,∴a>b.十.二次根式的应用48.小明家装修,电视背景墙长BC为27m,宽AB为8m,中间要镶一个长为23m,宽为2m的大理石图案(图中阴影部分).除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,求壁布的面积.(结果化为最简二次根式)【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案.【解答】解:由题意可得:27×8−23×2 =33×22−23×2=66−26=46(m2),答:壁布的面积为46m2.
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