高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步达标检测题

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考点一：直线的倾斜角和斜率
①直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
注意：1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为
2.倾斜角的取值范围
②直线的斜率
斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率 。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像(直线)的斜率。
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
注意：1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度
4.越大，直线越陡峭
③过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， 则
当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
④利用斜率证三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。
考点二：两条直线平行垂直的判定
①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，且不重合
2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。
②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时，
2.一条斜率不存在，另一条斜率为
题型目录
题型一：直线的倾斜角
题型二：直线的斜率
题型三：两直线平行的判定
题型四：两直线垂直的判定
题型五：平行垂直在几何中的运用
典型例题
题型一：直线的倾斜角
【例1】（浙江）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以故选：D
【例2】（2022·宁夏·银川二中高一期中）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，则直线的斜率不存在，所以倾斜角为，故选：C
【例3】（河南驻马店市）已知，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线的斜率为k,则，所以倾斜角为，故选：D
【例4】（全国）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将直线方程化为斜截式:,
故直线的斜率,，，所以直线的倾斜角范围为.故选：D.
【例5】（2021·全国·高二期末）直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为，把直线绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则，所以.故选：C.
【题型专练】
1．（广西南宁市）已知直线，则直线l的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
设直线l的倾斜角为，则，因为，所以．故选：C
2．（河南焦作市）过点，的直线的倾斜角为45°，则等于（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【解析】由题意可知，所以.故选：B．
3．（河南）已知直线l经过原点和两点，则直线l的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【解析】由和两点，代入斜率公式得，则直线l的倾斜角是60°.故选：C.
4．（陕西省黄陵县中学）若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为经过，两点的直线的倾斜角为，所以，解得.
故选：A.
5．（全国课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为，或，
所以或，解得或.
综上，实数的取值范围是.故选：B.
6．（广东）直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线斜率，又，∴，
设直线倾斜角为，∴，而，
故倾斜角的取值范围是，故选：B．
7．（白银市第十中学）设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：D．
题型二：直线的斜率
【例1】（陕西西安市·）已知直线经过点A(2，5)，B(3，7)两点，则直线的斜率为（ ）
A．2B．-2C．D．-
【答案】A
【解析】利用两点的斜率公式即得．故选：A
【例2】（河南）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.故选：.
【例3】（江西景德镇市）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．0或5D．0或-5
【答案】C
【解析】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在，
所以，解得或故选：C
【例4】（全国课时练习）已知，，若直线与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，，
【答案】C
【解析】由于直线的斜率为，且经过定点，如图设直线与线段AB有公共点为，则在A，B之间运动，
在A点时，直线的斜率为；在B点时，直线的斜率为，故.
故选:C.
【例5】（2022·全国·高考真题改编）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，故选：D
【例6】若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.
【详解】直线过点，
画出图象如下图所示，
，，
由于直线与线段AB没有公共点，
当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，
根据图象可知的取值范围是，
所以的取值范围是.
故选：A
【题型专练】
1．（河南）设点，若三点共线，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】因为点三点共线，所以，解得.故答案为：
2．（广西）如图直线的斜率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率，
又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，
所以故选：D.
3．（陕西咸阳市）设点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
因为直线过定点，
且，
因为直线与线段有交点，
则 ，即 ，
解得 ，
所以实数的取值范围是
故选：C
4．（全国高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.
【解析】（1）kAB=，因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
（2）kPQ=，因为kPQ