2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第05讲 直线的倾斜角与斜率 Word版含解析

第5讲 直线的倾斜角与斜率

考点分析

考点一：直线的倾斜角和斜率

①直线的倾斜角

若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示

注意：1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为

2.倾斜角的取值范围

②直线的斜率

斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率 。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像(直线)的斜率。

设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为

注意：1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度

4.越大，直线越陡峭     

③过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点， 则

当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

④利用斜率证三点共线．

两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。

考点二：两条直线平行垂直的判定

①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，且不重合

                      2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。

②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时，

                      2.一条斜率不存在，另一条斜率为

题型目录

题型一：直线的倾斜角

题型二：直线的斜率

题型三：两直线平行的判定

题型四：两直线垂直的判定

题型五：平行垂直在几何中的运用

典型例题

题型一：直线的倾斜角

【例1】（浙江）直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【例2】（2022·宁夏·银川二中高一期中）直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

【例3】（河南驻马店市）已知，，则直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【例4】（全国）直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【例5】（2021·全国·高二期末）直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（       ）

A．     B．       C．      D．

【题型专练】

1．（广西南宁市）已知直线，则直线l的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

2．（河南焦作市）过点，的直线的倾斜角为45°，则等于（    ）

A．1 B． C．3 D．

3．（河南）已知直线l经过原点和两点，则直线l的倾斜角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

4．（陕西省黄陵县中学）若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（    ）

A．2 B．1 C． D．

5．（全国课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是

A． B． C． D．或

6．（广东）直线的倾斜角的取值范围是（    ）.

A．   B．   C．  D．

7．（白银市第十中学）设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

题型二：直线的斜率

【例1】（陕西西安市·）已知直线经过点A(2，5)，B(3，7)两点，则直线的斜率为（    ）

A．2 B．-2 C． D．-

【例2】（河南）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【例3】（江西景德镇市）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（    ）

A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5

【例4】（全国课时练习）已知，，若直线与线段AB有公共点，则的取值范围是（    ）

A．， B．， C．， D．，，

【例5】（2022·全国·高考真题改编）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75  B．0.8  C．0.85  D．0.9

【例6】若实数、满足，，则代数式的取值范围为______

【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（河南）设点，若三点共线，则实数的值为_______．

2．（广西）如图直线的斜率分别为，则（    ）

A．  B．  C．  D．

3．（陕西咸阳市）设点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．（全国高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

（1）A(0，-1)，B(2，0)；

（2）P(5，-4)，Q(2，3)；

（3）M(3，-4)，N(3，-2).

5．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________.

6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率是（       ）

A． B．－1 C． D．

7．（2022·全国·高二课时练习）已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．

题型三：两直线平行的判定

【例1】（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（       ）

A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行

B．若，则

C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【例2】（全国课时练习）判断下列不同的直线与是否平行.

（1）的斜率为2，经过，两点；

（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；

（3）经过，两点，经过，两点．

【例3】（云南）若直线和直线平行，则的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．

【例4】（2022年天津市红桥区高中学业水平模拟测试数学试题）若直线：与直线：互相平行，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【例5】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

【题型专练】

1．（浙江）“”是“直线和直线互相平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（甘肃庆阳市）若直线与平行，则实数（    ）

A． B． C．或 D．

3．（全国高二课时练习）(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（    ）

A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)

B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)

C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点

D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0

4.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )

A．  B．2或   C．2 D．

题型四：两直线垂直的判定

【例1】（全国高二课时练习）判断下列直线与是否垂直.

（1）的斜率为，经过点，；

（2）的倾斜角为，经过，两点；

（3）经过，两点，经过，两点．

【例2】．（全国课时练习）过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【例3】（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【例4】（2022·江苏·高二）“”是“直线与直线垂直”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【题型专练】

1．（河南漯河市）直线，若，则的倾斜角是（   ）

A． B． C． D．

2．（陕西西安市·）若直线与垂直，则=（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

3．（福建）已知直线：，若，则倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（江西景德镇市）已知直线：和：，分别就下列条件求出实数m的值.

（1）直线与垂直；

（2）直线与平行.

题型五：平行垂直在几何中的运用

【例1】（广西南宁市）在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．

【例2】（全国高二课时练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________.

【例3】（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为，则该三角形另两条边所在直线斜率为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【例4】（2021八省新高考联考试题）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线斜率分别为______，______。

【题型专练】

1．（酉阳土家族苗族自治县第三中学校）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．

2．（重庆市育才中学）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（    ）

A． B． C． D．2

3．（全国高三其他模拟）如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

4．（全国高二课时练习）已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（    ）

A．平行四边形 B．矩形

C．菱形 D．直角梯形

5.（2008·全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为

A．3 B．2 C． D．