人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用一课一练

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考点一：直线的方向向量
空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。
考点二：平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面的所有法向量都互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
考点三：平面的法向量的求法
第一步：写出平面内两个不平行的向量= (x1，y1，z1)， = (x2，y2，z2)，
第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程；
第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可）
考点四：用空间向量判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为 ，．
1.若∥，即=λ，则a∥b． 2.若⊥，即· = 0，则a⊥b
②直线与平面的位置关系： 直线L的方向向量为，平面α的法向量为，且L⊥α．
1.若∥，即 =λ，则 L⊥ α 2.若⊥，即· = 0，则a ∥ α．
③平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为．
1.若∥，即=λ，则α∥β 2.若⊥，即 ·= 0，则α⊥β
考点五：用空间向量方法求空间角
①求异面直线所成的角
两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，，其夹角为θ，则cs φ＝|cs θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
②求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有．
③二面角的求法
若分别为面的法向量，
则二面角的平面角为的夹角或它们的补角，
考点六：用空间向量方法求点到平面的距离
A为平面α外一点(如图)， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．

典型例题
题型一：平面的法向量判断及求法
【例1】（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A．B．C．D．
【例2】（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4）B．（，1，）
C．（2，，1）D．（1，2，）
【例4】（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【例5】（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
【题型专练】
1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
3．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
4．（2022·全国·高二单元测试）若点，，，则平面ABC的一个法向量______．
5．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面．
题型二：利用空间向量研究平行垂直问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线的方向向量可以为（ ）.
A．（8，6，4）B．
C．D．
【例3】（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．// B． C．//平面 D．平面
【例4】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【例5】（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点M在棱PD上，点N为BC中点.
若，证明：直线平面PAB：
【例6】（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【题型专练】
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（ ）
A．，平行B．，垂直
C．，重合D．，相交不垂直
2．（2022·四川成都·高二期中（理））若直线l的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A．B．C．D．或
3．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．
5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是______．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.
7．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
8．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点M，N是否存在：.
9．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
题型三：异面直线所成的角
【例1】（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·全国·高二单元测试）在正方体中，若M是棱的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．与P点位置无关
【例3】（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2021·全国·高二课时练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型专练】
1．（2022·江苏·东台创新高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（理））如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．
8．（2022·江苏·高二阶段练习）如图，四棱雉的底面为直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求出点A在平面上的投影M的坐标．
题型四：直线与平面所成角（线面角）
【例1】（2021·全国·高二单元测试）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·全国·高三专题练习（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【例3】（2022·辽宁沈阳·高一期末）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【例4】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角．
【例5】（2020·山东新高考卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【例6】（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
【题型专练】
1.（2022·全国甲（理）） 在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
2.（2022·全国乙（理）） 如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
3．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
(1)若时，求证：平面平面；
(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
4.（2020·北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
5．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
6．（2022北京卷真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题型六：利用空间向量求二面角
【例1】（2022·新高考Ⅰ卷） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【例2】（2020·新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【例3】（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，E，F分别为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
【例4】（2022·新高考Ⅱ卷） 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

【例5】（2022·福建·三明一中模拟预测）如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．
(1)证明：∥平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
【题型专练】
1.（2020·新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点E、F分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
2.（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））如图，在多面体ABCDFE中，平面平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，在平面的投影为边的中点..，，，，．
(1)求证： 平面 ；
(2)点为线段上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
6．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.
(1)求证：；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
题型六：距离问题
【例1】（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．
【例3】（2022·江苏·高二课时练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求点到平面PAD的距离．
2．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
3．（2022·全国·高二期末）如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.
4．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．