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初中数学17.2 勾股定理的逆定理优秀同步练习题
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这是一份初中数学17.2 勾股定理的逆定理优秀同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．，b=2, D．a=15，b=8，c=17
2、下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
3、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
4、下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4； 6，8，10； 5，12，13
B．3，4，5； 10，24，26； 7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
5、如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝20，AC＝12，DE＝8．
则∠CDE+∠ACD的度数为 （ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
7、在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
8、如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的长为 （ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
9、 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
二、填空题
11、若△ABC中，，则∠B＝____________.
12、若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，
则以、、为边的三角形的面积为______．
13、△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，
则应为______，此三角形为______．
14、如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
15、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接AB,BC，则________．
16、观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
17、已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．
则四边形ABDC的面积是 ．
18、如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝ ．
19、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，
则线段AP的最小值为 ．
20、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝ ．
三、解答题
21、如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
22、如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
23、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
24、在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
25、在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
专题复习提升训练卷17.2勾股定理的逆定理-20-21人教版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．，b=2, D．a=15，b=8，c=17
【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
2、下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.故选D
3、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.故选C
4、下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4； 6，8，10； 5，12，13
B．3，4，5； 10，24，26； 7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
5、如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝20，AC＝12，DE＝8．
则∠CDE+∠ACD的度数为 （ C ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
【解析】，
所以这三条线段能构成直角三角形.
故选B
7、在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
解：由题意可得，AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，则＝5，即＝5，解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
8、如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的长为 （ D ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
9、 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；
因为，所以能组成三角形，②正确；
因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确.
【答案】C
10、如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
二、填空题
11、若△ABC中，，则∠B＝____________.
【解析】由题意，所以∠B=90°.
12、若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，
则以、、为边的三角形的面积为______．
【解析】∵7＜＜9，且为正整数，∴＝8． ∴这个三角形的三边长分别为6，8，10；
∵，∴这个三角形为直角三角形，∴S=×6×8=24
13、△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，
则应为______，此三角形为______．
【答案】13；直角三角形；
【解析】7＜＜17.
14、如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
15、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接AB,BC，则________．
【解析】解：如图，连接 由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
故答案为：
16、观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【解答】2n，n2﹣1，n2+1
【解析】∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为2n，n2﹣1，n2+1．
17、已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．
则四边形ABDC的面积是 ．
【解答】36
【解析】连接BC，如图所示：
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC=×4×35×12＝36，
故答案为36.
18、如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝ ．
【解析】如图，由勾股定理得，EB2＝12+22＝5，EC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，
∴EB2+EC2＝BC2，∴△EBC是直角三角形，
∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，
由SAS可证△BME≌△ANC，∴∠α＝∠EBA，∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．
故答案为45°．
19、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，
则线段AP的最小值为 ．
【解析】∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
当AP⊥BC时，AP的值最短，
∴线段AP的最小值为， 故答案为．
20、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝ ．
【解答】135°或45°
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴①∠BCD＝90°+45°＝135°；
②∠BCD＝90°﹣45°＝45°．
故∠BCD＝135°或45°．
故答案为135°或45°．
三、解答题
21、如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【答案】解：（1）连接，在中，，
，，
由勾股定理可得：；
（2）在中，，，
，
；
（3）由（2）知，，
四边形的面积，
22、如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
解：∵点P为BC中点，∴BP＝CP＝BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
23、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，∴AM=BM=2a．
∵AN=AD，AD=4a，∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，∴MN=a．
同理可得：MC=a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，NC2=（5a）2=25a2，
∴MN2+MC2=NC2， ∴△CMN是直角三角形．
24、在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
解：∵△APB绕A点逆时针旋转60°得到△AQC，
∴△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，
∴AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，
又∵PC=5，
∴△PQC是直角三角形.
25、在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900， ∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2， 解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．，b=2, D．a=15，b=8，c=17
2、下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
3、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
4、下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4； 6，8，10； 5，12，13
B．3，4，5； 10，24，26； 7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
5、如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝20，AC＝12，DE＝8．
则∠CDE+∠ACD的度数为 （ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
7、在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
8、如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的长为 （ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
9、 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
二、填空题
11、若△ABC中，，则∠B＝____________.
12、若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，
则以、、为边的三角形的面积为______．
13、△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，
则应为______，此三角形为______．
14、如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
15、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接AB,BC，则________．
16、观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
17、已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．
则四边形ABDC的面积是 ．
18、如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝ ．
19、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，
则线段AP的最小值为 ．
20、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝ ．
三、解答题
21、如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
22、如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
23、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
24、在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
25、在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
专题复习提升训练卷17.2勾股定理的逆定理-20-21人教版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．，b=2, D．a=15，b=8，c=17
【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
2、下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角之比为5∶6∶1 B. 一边上的中线等于这一边的一半
C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3
【解析】D选项不满足勾股定理的逆定理.故选D
3、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；
B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；
C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；
D. 三边之比为::2的三角形是直角三角形.
【解析】度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36°：72°：72°.故选C
4、下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4； 6，8，10； 5，12，13
B．3，4，5； 10，24，26； 7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
5、如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝20，AC＝12，DE＝8．
则∠CDE+∠ACD的度数为 （ C ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
【解析】，
所以这三条线段能构成直角三角形.
故选B
7、在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
解：由题意可得，AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，则＝5，即＝5，解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
8、如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的长为 （ D ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
9、 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，①错误；
因为，所以能组成三角形，②正确；
因为，所以，即，③正确；因为，所以④正确.
【答案】C
10、如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里
解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
二、填空题
11、若△ABC中，，则∠B＝____________.
【解析】由题意，所以∠B=90°.
12、若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，
则以、、为边的三角形的面积为______．
【解析】∵7＜＜9，且为正整数，∴＝8． ∴这个三角形的三边长分别为6，8，10；
∵，∴这个三角形为直角三角形，∴S=×6×8=24
13、△ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，
则应为______，此三角形为______．
【答案】13；直角三角形；
【解析】7＜＜17.
14、如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形．
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
15、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接AB,BC，则________．
【解析】解：如图，连接 由勾股定理得：
为等腰直角三角形，
故答案为：
16、观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【解答】2n，n2﹣1，n2+1
【解析】∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为2n，n2﹣1，n2+1．
17、已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．
则四边形ABDC的面积是 ．
【解答】36
【解析】连接BC，如图所示：
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC=×4×35×12＝36，
故答案为36.
18、如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝ ．
【解析】如图，由勾股定理得，EB2＝12+22＝5，EC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，
∴EB2+EC2＝BC2，∴△EBC是直角三角形，
∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，
由SAS可证△BME≌△ANC，∴∠α＝∠EBA，∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．
故答案为45°．
19、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P是线段BC上的一点，
则线段AP的最小值为 ．
【解析】∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
当AP⊥BC时，AP的值最短，
∴线段AP的最小值为， 故答案为．
20、已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝ ．
【解答】135°或45°
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴①∠BCD＝90°+45°＝135°；
②∠BCD＝90°﹣45°＝45°．
故∠BCD＝135°或45°．
故答案为135°或45°．
三、解答题
21、如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【答案】解：（1）连接，在中，，
，，
由勾股定理可得：；
（2）在中，，，
，
；
（3）由（2）知，，
四边形的面积，
22、如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
解：∵点P为BC中点，∴BP＝CP＝BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
23、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，∴AM=BM=2a．
∵AN=AD，AD=4a，∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，∴MN=a．
同理可得：MC=a，NC=5a．
∵MN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，NC2=（5a）2=25a2，
∴MN2+MC2=NC2， ∴△CMN是直角三角形．
24、在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.
解：∵△APB绕A点逆时针旋转60°得到△AQC，
∴△APB≌△AQC，∠PAQ=60°，
∴AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，
又∵PC=5，
∴△PQC是直角三角形.
25、在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900， ∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2， 解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
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