第九章 平面直角坐标系 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册

这是一份第九章 平面直角坐标系 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册，共10页。
第九章　平面直角坐标系9．1　用坐标描述平面内点的位置9．1.1　平面直角坐标系的概念1．认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义；2．会用坐标表示点，能根据点的坐标指出点的位置．重点平面直角坐标系和点的坐标．难点在平面直角坐标系中描点．一、导入新课我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标，例如，在下图的数轴上，点A的坐标为－4.点B的坐标为2.反过来．知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了．例如，在下图的数轴上．坐标为5的点是点C.这样，利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置.二、探究新知类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(例如下图中A，B，C，D，E各点)?1．在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，构成平面直角坐标系；2．竖直的叫做纵轴或y轴，y轴取向上的方向为正方向；3．水平的叫做横轴或x轴，x轴取向右为正方向；4．x轴与y轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．例如，如图，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3.垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作“A(3，4)”．类似地请你写出点B，C，D，E的坐标．思考：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标特征是什么？建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．教师提出问题：1．点在各个象限的坐标有什么特点？2．坐标轴上的点有什么特点？3．坐标轴上的点属于第几象限呢？归纳：1．第一象限(＋，＋), 第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－).2．坐标轴上的点横坐标为0或纵坐标为0.3．坐标轴上的点不属于任何象限．【例】在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2).E(0，－4).解：归纳：1．在平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的关系．即：对于平面内任意一点，都有唯一的有序数对与它对应．对于任意的有序数对，平面上都有唯一的一个点与它对应．2．根据坐标描点的步骤：(1)找到该点的横坐标在x轴上的位置，过该位置作x轴的垂线．(2)找到该点的纵坐标在y轴上的位置，过该位置作y轴的垂线．(3)两线交点即为要描出的点的位置．三、课堂练习1．点(－3，2)在第________象限；点(－1.5，－1)在第________象限；点(0，3)在________轴上；若点(a＋1，－5)在y轴上，则a＝________.2．在x轴上，且与原点距离为3个单位长度的点的坐标为________.3．若点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为－1，则点P的坐标可以是________.4．如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线(　　)A．平行于x轴　　B．平行于y轴C．经过原点 D．以上都不对四、课堂小结本节课主要内容回顾：平面直角坐标系；点的坐标及其表示；各象限内点的坐标的特征；在坐标系中描点．五、课后作业完成本节课对应练习．通过今天的学习，我们发现，当我们确定了一个点的坐标时，就能准确地找到这个点的位置．教师可告诉同学们：如果你们确定了自己人生的坐标，只要不断努力，积极进取，理想就会变成现实．9．1.2　用坐标描述简单几何图形1．能根据简单图形的特点建立平面直角坐标系，并能用坐标表示它们的各个顶点；2．在平面直角坐标系中，描出简单几何图形的顶点，并画出它的图形．重点1．合理建立平面直角坐标系，用坐标表示简单图形的顶点；2．在平面直角坐标系中描出简单图形的顶点，画出其几何图形．难点根据图形的特点，确定平面直角坐标系的原点．一、导入新课做一做：在平面直角坐标系中描出点A(6，0)，O(0，0)，B(3，5)，并将点O，A，B依次连接起来，你发现得到一个什么图形？生：我们发现得到一个等腰三角形．师：那么，怎样用坐标表示简单图形呢？二、探究新知如图，正方形ABCD的边长为6，(1)如果以点B为原点，AB所在直线为y轴，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标．显然，这样建立的平面直角坐标系以AB所在直线为y轴，当取1个单位长度代表长度“1”时，正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，6)，(0，0)，(6，0)，(6，6).请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么？与同学交流一下．(2)若以AB的中点所在直线为x轴，BC中点所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．当取1个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是(－3，3)，(－3，－3)，(3，－3)，(3，3).归纳：一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形，在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同，为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征．类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点(例如顶点)的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形．【例】在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－3，－2)，C(3，－2)，D(3，2).画出长方形ABCD.三、课堂练习1．如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC的长分别为6，5，试建立适当的平面直角坐标系来表示Rt△ABC各顶点的坐标．2．如图，矩形ABCD的长和宽分别为8和6，试建立适当的平面直角坐标系表示矩形ABCD各顶点的坐标，并作出矩形ABCD.四、课堂小结如何用坐标系表示简单的几何图形？(1)根据图形的特点如对称性等，考虑使坐标简明，使更多的顶点在坐标轴上，取定原点O，确定x轴、y轴；(2)规定1个单位长度代表的长度，写出各个顶点的坐标；(3)在直角坐标系中描出各个顶点，并依次连接起来．五、课后作业完成本节课对应练习．在本次教学实践后，深刻认识到多媒体教学能够展示图形变换过程、直观形象帮学生理解抽象的数学概念，增加数学的趣味性，但应避免过度依赖、注意与传统教学手段有机结合．9.2　坐标方法的简单应用9．2.1　用坐标表示地理位置1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义，掌握用坐标系表示地理位置的方法，能在实际情境中运用坐标进行位置定位；2．通过观察、讨论、实践等教学活动，培养学生空间想象力和提高他们解决实际问题的能力．重点利用坐标表示地理位置．难点建立适当的平面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．一、导入新课不管是出差办事，还是出去旅游，人们都愿意带上一幅地图，它给人们出行带来了很大方便，你知道怎样用坐标表示地理位置吗？今天我们学习如何用坐标表示地理位置．二、探究新知探究：用坐标表示地理位置的方法．活动1：根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置．国家体育场：在天安门以北约9 km处．中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约14.5 km，再往南约6 km处．北京朝阳火车站：在天安门以东约9.5 km，再往北约4 km处．首钢滑雪大跳台：在天安门以西约21 km处．颐和园：在天安门以西约11 km，再往北约10 km处．如何建立平面直角坐标系呢？以哪个参照点为原点？如何确定x轴、y轴？如何选比例尺来绘制区域内地点分布情况的平面图？如图，选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1 km长．依题目所给条件，点(0，0)就是天安门的位置，点(0，9)就是国家体育场的位置，点(－14.5，－6)就是中国人民抗日战争纪念馆的位置．活动2：归纳利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向．(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度．(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．活动3：思考：如图，一艘船在A处遇险后向相距35 nmile位于B处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35 nmile，用北偏东60°，35 nmile就可以确定救生船相对于遇险船的位置，反过来，用南偏西60°，35 nmile就可以确定遇险船相对于救生船的位置．一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置，此外，还可以用方位角和距离表示平面内物体的位置．三、课堂练习1．如图，若以解放公园为原点，分别以解放公园正东、正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为(　　)A．(2，3)　 B．(0，3)　 C．(3，2)　 D．(2，2)2．如图，这是某动物园的平面示意图，小董通过建立平面直角坐标系，用(2，－4)表示图上的水族馆的位置，请你画出小董建立的平面直角坐标系，并写出其他各位置的坐标．3．同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是(1，－5)，黑②的位置是(2，－4)，画出平面直角坐标系，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在图中什么位置就获得胜利了？写出坐标____________.4．如图是小明家(图中点O)和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，C为OP的中点．(1)若学校距离小明家400 m，那么商场、停车场、公园分别距离小明家多少米？(2)请用方向角和距离表示学校、商场、停车场、公园分别相对小明家的位置．(直接写出结论即可)四、课堂小结归纳如何利用坐标表示地理位置．五、课后作业完成本节课对应练习．通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，能积极主动地提出各类问题并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应用方面存在不足．针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．9．2.2　用坐标表示平移1．掌握坐标变化与图形平移的关系；2．能利用点的平移规律将平面图形进行平移；3．会根据图形上的坐标的变化，来判定图形的移动过程．重点掌握坐标变化与图形平移的关系．难点利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．一、导入新课教师提问：1．什么叫做平移？2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？学生回答：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移．平移后图形的位置改变，形状、大小不变．二、探究新知探究一：点的坐标变化与平移间的关系观察点的变化，回答下列问题：(1)将点A(－2，－1)向右平移5个单位长度，得到点A1，它的坐标是(3，－1)．观察坐标的变化，你能发现点A1的坐标和点A的坐标之间有什么关系吗？(2)把点A向上平移4个单位长度呢？(3)把点A向左或向下平移2个单位长度呢？再找几个点，对它们进行平移，观察各组对应点的坐标之间的关系，你能从中发现什么规律？归纳：一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).探究二：探索图形上点的坐标变化如图①，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(－2，4)，B(－2，3)，C(－1，3).D(－1，4)，将正方形ABCD先向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点E、F，G，H；如图②，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD.使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同吗？归纳：在平面直角坐标系中，如果把点(x，y)的横坐标加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把点(x，y)纵坐标加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图向上(或向下)平移b个单位长度．【例1】(1)如图．长方形A′B′C′D′可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？(2)点P(－3，1)是长方形ABCD上一点，写出点P的对应点P′的坐标．探究三：图形平移与坐标变化的规律如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2).(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？如图，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．归纳：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度．【例2】如图，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中任意一点P(x0，y0)平移后的对应点为P1(x0＋5，y0＋3).写出三角形ABC以及点A1，B1，C1的坐标．经过怎样的平移得到△A1B1C1.三、课堂练习1．在平面直角坐标系中，把点P(－1，－2)向上平移4个单位长度所得点的坐标是________.2．将点P(－4，3)沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，所得到的点的坐标为________.3．已知三角形的三个顶点坐标分别是(－4，－1)，(1，1)，(－1，4)，现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是(　　)A．(－2，2)，(3，4)，(1，7)B．(－2，2)，(4，3)，(1，7)C．(2，2)，(3，4)，(1，7)D．(2，－2)，(3，3)，(1，7)四、课堂小结本节课你有什么收获？与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过观察、比较、归纳等活动，最终探索出点的坐标变化与点平移的关系、图形各个点的坐标变化与图形平移的关系．在课堂中，充分体现了知识由易到难，由简单到复杂的过程．自始至终同学们积极性较高，收到了较好的教学效果．