第八章 实数 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册

这是一份第八章 实数 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册，共14页。
第八章　实数8．1　平方根第1课时　平方根1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，并了解被开方数的非负性；2．了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，并会进行简单的开方运算．重点平方根的概念，求某些非负数的平方根．难点了解被开方数的非负性．一、导入新课师：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考、讨论．生：3.师：除此之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？生：－3.师：所以，若一个数的平方等于9，这个数是3或－3.二、探究新知师：请同学们填表．展示课件：师：通过填表，我们不难得出：归纳：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．即：如果x2＝a，则x叫作a的平方根．【例1】3和－3是9的平方根，简记为±3是9的平方根．求一个数a的平方根的运算，叫作开平方．师：请同学们看图．展示课件：师：平方与开平方有何联系？生：平方与开平方互为逆运算．师：我们可以根据这种运算关系，来求一个数的平方根．请同学们做题：【例2】求下列各数的平方根：(1)64；(2) eq \f(9,100) ；(3)0.01.解：(1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8；(2)因为(± eq \f(3,10) )2＝ eq \f(9,100) ，所以 eq \f(9,100) 的平方根是± eq \f(3,10) ；(3)因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1.师：正数、负数、0的平方根有何特点？生：讨论、交流．师生共同分析：正数的平方根有两个，它们互为相反数．∵负数的平方是正数，∴在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数．∴负数没有平方根．∵02＝0，∴0的平方根是0.归纳：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②负数没有平方根；③0的平方根是0.师：正数a的平方根表示为± eq \r(a) ，读作“正、负根号a”．如：± eq \r(9) ＝±3，± eq \r(25) ＝±5.师： eq \r(a) 只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义，为什么？生：负数没有平方根．【例3】下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由．(1)0.36；(2)－5；(3)(－4)2.三、课堂练习1．求下列各式的值：(1) eq \r(144) ；(2)－ eq \r(0.81) ；(3)± eq \r(\f(121,196)) .2．求下列各式中x的值：(1)x2＝36；(2)(x＋1)2＝4.四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．1．提供足够的时间，让学生理解平方根的意义．掌握正数、0、负数的平方根的特点．2．多提供适量的有代表性的习题，随堂练习．3．易出错的题目随堂订正．第2课时　算术平方根1．掌握算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根；2．能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；3．能运用算术平方根解决实际问题．重点理解算术平方根的概念及求一个数算术平方根．难点理解算术平方根的概念，并能运用算术平方根解决实际问题．一、导入新课问题　学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？师：∵52＝25，∴这个正方形画框的边长应取5 dm.二、探究新知探究一：算术平方根的概念师：我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根 eq \r(a) 叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用 eq \r(a) 来表示．规定：0的算术平方根是0，0的算术平方根也记为 eq \r(0) .【例】求下列各数的算术平方根：(1)100；(2) eq \f(49,64) ；(3)0.0001.解：(1)∵102＝100，∴100的算术平方根是10.即 eq \r(100) ＝10.(2)∵( eq \f(7,8) )2＝ eq \f(49,64) ，∴ eq \f(49,64) 的算术平方根是 eq \f(7,8) ，即 eq \r(\f(49,64)) ＝ eq \f(7,8) .(3)∵0.012＝0.0001，∴0.0001的算术平方根是0.01，即 eq \r(0.0001) ＝0.01.归纳：从例题可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立．探究二：估计 eq \r(2) 的范围师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？运用多媒体，展示课件：学生活动：小组合作操作、观察、交流．师：将两个小正方形沿对角线剪开，得到几个直角三角形？生：4个．师：大正方形的面积多大？生：大正方形的面积为2.师：这个大正方形的边长如何求？师生共同完成：设大正方形的边长为x，则x2＝2，由算术平方根的意义可知：x＝ eq \r(2) .∴大正方形的边长为 eq \r(2) .师：小正方形的对角线的长为多少？生：对角线长为 eq \r(2) .师：很好， eq \r(2) 有多大呢？师生共同归纳：∵12＝1，22＝4，∴1＜ eq \r(2) ＜2.∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，∴1.4＜ eq \r(2) ＜1.5.∵1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，∴1.41＜ eq \r(2) ＜1.42.∵1.4142＝1.999396，1.4152＝2.002225，1.4142＜2＜1.4152∴1.414＜ eq \r(2) ＜1.415.……如此进行下去，可以得到 eq \r(2) 的更精确的近似值.其实， eq \r(2) ＝1.41421356……它是一个无限不循环小数，无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．师：你能举出几个例子吗？生：能，如： eq \r(3) 、 eq \r(5) 、 eq \r(7) 等．三、课堂练习1．求下列各数的值：(1) eq \r(1) ；(2) eq \r(\f(9,25)) ；(3) eq \r(22) .2．根据题目要求求值．(1)3x－4为25的算术平方根，求x的值；(2)已知9的算术平根为a，b的绝对值为4，求a－b的值．四、课堂小结本节课你学到了哪些知识？与同伴交流．师生共同归纳算术平方根的定义及其表示方法.五、课后作业完成本节课对应练习．教师首先利用例子提出问题：求正方形画布的边长，通过学生计算加深对算术平方根概念的初步理解；然后在上面叙述的基础上提出算术平方根概念的符号表示方法，同时用练习巩固所学新知，由量变到质变，使学生能牢固掌握本节内容．第3课时　用计算器求算术平方根1．掌握用计算器求算术平方根的方法；2．会根据算术平方根的实际意义估计数的大小．重点掌握用计算器求算术平方法．难点会根据算术平方根的实际意义估计数的大小．一、导入新课怎么求一个数的的平方根和算术平方根？二、探究新知探究一：利用计算器计算一个正数的算术平方根大多数计算器都有 eq \x(\r(　)) 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).【例1】用计算器求下列各式的值：(1) eq \r(3136) ；(2) eq \r(2) (结果保留小数点后三位).解：(1)依次按键 eq \x(\r(　)) 3136 eq \x(＝) ，显示：56，所以 eq \r(3136) ＝56.(2)依次按键 eq \x(\r(　)) 2 eq \x(＝) ，显示：1.414213562，所以 eq \r(2) ≈1.414(注：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．)下面来解决教材本章引言中提出的问题：由v2＝2gR，得v＝ eq \r(2gR) ，其中g≈9.8，R≈6.4×106.用计算器求v(用科学记数法把结果写成a×10n的形式，v≈ eq \r(2×9.8×6.4×106) ≈1.12×104.因此，第二宇宙速度v大约是1.12×104 m/s.探究二：利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律1．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？　　师生共同归纳：求算术平方根时，被开方数的小数点要两位两位地移动，当被开方数向左(右)每移动两位时，它的算术平方根相应地向左(右)移动一位．应用：用计算器计算 eq \r(3) (精确到0.001)，并利用你发现的规律说出 eq \r(0.03) ， eq \r(300) ， eq \r(30000) 的近似值，你能根据 eq \r(3) 的值说出 eq \r(30) 是多少吗？探究三：算术平方根的实际应用【例2】小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.根据边长与面积的关系得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50，由边长的实际意义，得x＝ eq \r(50) .因此长方形纸片的长为3 eq \r(50)  cm.因为50＞49，所以 eq \r(50) ＞7.由上可知3 eq \r(50) ＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.因为 eq \r(400) ＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．答：不同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．三、课堂练习在一次活动课中，元元同学用一根绳子围成一个长、宽之比为3∶1，面积为75 cm2的长方形(如图①).(1)求长方形的长和宽；(2)元元用另一根绳子围成一个正方形(如图②)，且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积．她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3 cm.”请你判断元元的说法是否正确，并说明理由．四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．1．使每个学生都参与用计算器求一个正有理数的算术平方根．2．平方根移动的规律，须让学生通过查表、探索、发现、总结，最好是自己找出其中所蕴含的规律．并能将规律进行运用．8．2　立方根第1课时　立方根理解立方根的概念，掌握立方根的性质，会求一个数的立方根．重点立方根的概念与性质．难点会求一个数的立方根．一、导入新课要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？师：设这种包装箱的边长为x m，则x3＝27，这就是要求一个数，使它的立方等于27.∵33＝27，∴x＝3.即这种包装箱的边长为3 m.二、探究新知探究一：立方根的意义如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？因为23＝8，所以这个数可以是2，除2以外，任何一个数的立方都不等于8.因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.归纳：一般地，如果一个数的立方等于a，即：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根．∵33＝27，∴3是27的立方根．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，据此我们可以求一个数的立方根．探究二：立方根的性质根据立方根的意义填空，看看正数、0和负数的立方根各有什么特点？∵13＝1，∴1的立方根是(1)；∵(0.4)3＝0.064，∴0.064的立方根是(0.4)；∵(0)3＝0，∴0的立方根是(0)；∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是(－2)；∵(－ eq \f(1,2) )3＝－ eq \f(1,8) ，∴－ eq \f(1,8) 的立方根是(－ eq \f(1,2) ).师生共同归纳：正数的立方根是正数．负数的立方根是负数．0的立方根是0.师：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？生：每一个数均有一个立方根，而负数没有平方根．师：一个数a的立方根表示法： eq \r(3,a) ，读作“三次根号a”．其中a是被开方数，3是根指数．如 eq \r(3,8) 表示8的立方根，即 eq \r(3,8) ＝2. eq \r(3,－8) 表示－8的立方根，即 eq \r(3,－8) ＝－2. eq \r(3,a) 中的根指数3不能省略．【例】求下列各数的立方根：(1)(－2)3；(2)343；(3)－64；(4) eq \f(125,27) .三、课堂练习1．下列说法正确的是(　　)A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根与这个数同号C．一个数若有立方根，则一定有平方根D．一个数的立方根是非负数2. eq \r(64) 的立方根是(　　)A．2　　　B．4　　　C．±2　　　D．±83．已知一个正方体的棱长是5 cm，再做一个正方体，使它的体积是原正方体体积的8倍，求所做的正方体的棱长．四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．教学设计着重于把立方根与开立方进行类比教学，注重概念的形成过程，让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念，通过设置问题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念．让学生通过实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别．第2课时　立方根的计算1．进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运算．2．经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力．重点熟练地进行求一个数的立方根的运算．难点探求规律，发展合情推理的能力．一、导入新课1．判断题：4的平方根是2(　　)1的立方根是1(　　)－0.125的立方根是－0.5(　　)－ eq \f(8,27) 的立方根是± eq \f(2,3) (　　)－6是216的立方根(　　)二、探究新知探究一：互为相反数的两个数的立方根的关系填空：∵ eq \r(3,－8) ＝________，－ eq \r(3,8) ＝________.∴ eq \r(3,－8) ________－ eq \r(3,8) .∵ eq \r(3,－27) ＝________，－ eq \r(3,27) ＝________.∴ eq \r(3,－27) ________－ eq \r(3,27) .归纳：一般地， eq \r(3,－a) ________－ eq \r(3,a) .【例】求下列各式的值：(1) eq \r(3,－512) ；(2)－ eq \r(3,－0.001) ；(3) eq \r(3,－43) .探究二：利用计算器求立方根其实，很多有理数的立方根是无限不循环小数．如 eq \r(3,2) ， eq \r(3,3) 等都是无限不循环小数，可以用有理数、近似数表示它们．学生活动：用计算器求一些数的立方根．用计算器计算 eq \r(3,0.000216) ， eq \r(3,0.216) ， eq \r(3,216) ， eq \r(3,216000) ，…，你能发现什么规律？用计算器计算 eq \r(3,100) (精确到0.001)，并利用你发现的规律求 eq \r(3,0.1) ， eq \r(3,0.0001) ， eq \r(3,100000) 的近似值．师：同学们发现了什么规律？学生讨论、交流并发言．师生共同归纳：被开方数的小数点向左(右)每移动三位，其立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．三、课堂练习1．求下列各式的值：(1) eq \r(3,64) ；(2)－ eq \r(3,\f(1,8)) ；(3) eq \r(3,－\f(27,64)) 2．求下列各式的值．(1) eq \r(3,－0.027) ；(2) eq \r(3,－\f(8,27)) ；(3) eq \r(3,1－\f(37,64)) ；(4) eq \r(3,\f(7,8)－1) .3．比较3，4， eq \r(3,50) 的大小．四、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些困惑？五、课后作业完成本节课对应练习．本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算．学生在以后的数学学习中，要注意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固已学的知识，并通过新旧对比更好地掌握知识．8．3　实数及其简单运算第1课时　实数的概念理解无理数和实数的概念，会对实数进行分类，会在数轴上表示无理数．重点理解实数的概念．难点在数轴上表示无理数．一、导入新课师：请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，－ eq \f(3,5) ， eq \f(47,8) ， eq \f(9,11) ， eq \f(11,90) ， eq \f(5,9) 生：3＝3.0，－ eq \f(3,5) ＝－0.6， eq \f(47,8) ＝5.875， eq \f(9,11) ＝0.81， eq \f(11,90) ＝0.12， eq \f(5,9) ＝0.56.这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．二、探究新知探究一：无理数的概念任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，例如： eq \r(2) ，－ eq \r(5) ， eq \r(3,2) ， eq \r(3,3) 等．无限不循环小数叫做无理数，例如：π＝3.14159265……也是无限不循环的小数．师：有理数和无理数统称实数．实数 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正有理数,0,负有理数))\a\vs4\al(有限小数或,无限循环小数),无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,负无理数))无限不循环小数)) 师：像有理数一样，无理数也有正负之分．实数 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理数,正无理数)),0,负实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(负有理数,负无理数)))) 探究二：在数轴上表示无理数师：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数也可以用数轴上的点来表示．如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？师：从图中可以看出，OO′的长是多少？生1：这个圆的周长为π.师：O′的坐标是多少？生2：O′的坐标是π.师：所以无理数π可以用数轴上的点表示出来．师：如何在数轴上表示± eq \r(2) 呢？师生共同完成：归纳：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．即数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．师：实数与数轴上的点有何关系？师：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．师：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的．右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．三、课堂练习1．在实数π， eq \r(3,27) ＋ eq \r(0) － eq \r(\f(1,4)) ， eq \r(2) －(－3 eq \r(2) )， eq \r(3,50) ，0.2121121112…， eq \r(3,5) 中，无理数共有(　　)A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个2．判断正误，并说明理由．(1)无理数都是无限小数；(2)实数包括正实数、0、负实数；(3)不带根号的数都是有理数；(4)所以有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数．3．把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.－6，π，－ eq \f(2,3) ，－|－3|， eq \f(22,7) ，－0.4，1.6， eq \r(6) ，0，1.1010010001…整数：{　　　　　　　　　　　　　…}，负分数：{　　　　　　　　　　　　…}，无理数：{　　　　　　　　　　　　…}，负实数：{…}．4．如图，数轴上点P表示的数可能是(　　)A． eq \r(7) 　　　　　　B．－ eq \r(7) C．－3.2 D．－ eq \r(10) 四、课堂小结通过本节课的学习，同学们有哪些收获？请与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课是在有理数的基础上引进无理数，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围．通过强调无限不循环小数与有限小数和无限循环小数的区别，使学生更好地理解有理数和无理数是两类不同的数．教师在讲实数的两种分类时，要强调不能重复也不能遗漏．在数轴上表示无理数是一个难点，教师应给予指导．第2课时　实数的简单运算1．了解实数的绝对值和相反数的意义；2．掌握实数的运算法则及运算性质，能正确地进行实数的运算．重点实数的运算法则、运算性质和实数的运算．难点正确地进行实数的运算．一、导入新课师：有理数的运算法则是什么？生：先乘方，再乘除，最后算加减，同级运算从左至右，遇有括号的先算括号内．二、探究新知探究一：实数的相反数与绝对值当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合实数． eq \r(2) 的相反数是－ eq \r(2) ，－π的相反数是π，0的相反数是0，| eq \r(2) |＝ eq \r(2) ，|－π|＝π，|0|＝0．师生共同归纳：数a的相反数是－a(a表示任意一个实数).一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.|a|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，当a＞0时；,0，当a＝0时；,－a，当a＜0时．)) 【例1】(1)分别写出－ eq \r(6) ，π－3.14的相反数；(2)指出－ eq \r(5) ，1－ eq \r(3,3) 分别是什么数的相反数；(3)求 eq \r(3,－64) 的绝对值；(4)已知一个数的绝对值是 eq \r(3) ，求这个数．解：(1)因为－(－ eq \r(6) )＝ eq \r(6) ，－(π－3.14)＝3.14－π，所以，－ eq \r(6) ，π－3.14的相反数分别为 eq \r(6) ，3.14－π.(2)因为－( eq \r(5) )＝－ eq \r(5) ，－( eq \r(3,3) －1)＝1－ eq \r(3,3) ，所以，－ eq \r(5) ，1－ eq \r(3,3) 分别是 eq \r(5) ， eq \r(3,3) －1的相反数．(3)因为 eq \r(3,－64) ＝－ eq \r(3,64) ＝－4，所以| eq \r(3,－64) |＝|－4|＝4.(4)因为| eq \r(3) |＝ eq \r(3) ，|－ eq \r(3) |＝ eq \r(3) ，所以绝对值为 eq \r(3) 的数是 eq \r(3) 或－ eq \r(3) .探究二：实数的运算【例2】计算下列各式的值：(1)( eq \r(3) ＋ eq \r(2) )－ eq \r(2) ；　　(2)3 eq \r(3) ＋2 eq \r(3) .师生共同完成：(1)( eq \r(3) ＋ eq \r(2) )－ eq \r(2) ＝ eq \r(3) ＋( eq \r(2) － eq \r(2) )(加法结合律)＝ eq \r(3) ＋0＝ eq \r(3) (2)3 eq \r(3) ＋2 eq \r(3) ＝(3＋2) eq \r(3) (乘法分配律)＝5 eq \r(3) 归纳：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入．【例3】计算(结果保留小数点后两位)：(1) eq \r(5) － eq \r(7) ；　　(2)π· eq \r(3) .三、课堂练习1．计算下列各式的值：(1)2 eq \r(3) × eq \r(3) －5 eq \r(5) × eq \r(5) －( eq \r(3) × eq \r(3) －5 eq \r(5) × eq \r(5) )；(2)| eq \r(3) × eq \r(3) － eq \r(2) × eq \r(2) |＋|1－ eq \r(2) × eq \r(2) |＋|2－ eq \r(3) × eq \r(3) |.2．实数在数轴上的对应点如图所示，化简： eq \r(a2) · eq \r(a2) －|b－a|－ eq \r(（b＋c）2) · eq \r(（b＋c）2) .四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？五、课后作业完成本节课对应练习．首先通过复习有理数运算法则进行导入，旨在让学生对有理数知识的认识迁移到无理数．经过老师的引导，感受并经历实数的运算、化简；通过学生互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验，充分调动、发挥学生主动性的多样化学习方式，促进他们更好地完成本节课的教学任务．x21163649 eq \f(4,25) x±1±4±6±7± eq \f(2,5) … eq \r(0.0625)  eq \r(0.625)  eq \r(6.25)  eq \r(62.5) … eq \r(625)  eq \r(6250)  eq \r(62500)  eq \r(625000) ……