9.2.4总体离散程度的估计-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第九章 9.2　用样本估计总体9.2.4　总体离散程度的估计课标要求1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.理解离散程度参数的统计含义.平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识.引入课时精练一、方差、标准差二、方差、标准差与统计图表的综合应用三、分层随机抽样的方差课堂达标内容索引方差、标准差一探究1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下.甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7(1)甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？(2)观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？(3)对于甲、乙的射击成绩，除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？提示　还经常用甲、乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度.甲命中环数的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.极差在一定程度上表明了样本数据的离散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.1.总体方差和标准差知识梳理2.样本方差和标准差离散程度波动幅度大小例1(链接教材P215练习T3)甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为甲：99　100　98　100　100　103乙：99　100　102　99　100　100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.2.在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别如下.甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？训练1方差、标准差与统计图表的综合应用二例2对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1√根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系有两个方法：(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值，然后比较大小；(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小.训练2√由题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，分层随机抽样的方差三探究2 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？知识梳理例3(链接教材P213例6)在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，则求出，不能，说明理由.训练3某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：估算全班学生每周购买零食的平均费用和方差.【课堂达标】1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是A.极差 B.平均数 C.方差 D.标准差√平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度大小.2.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数√√√甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误.3.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为s比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1√4.样本101，98，102，100，99的标准差s2＝________.【课时精练】1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定√2.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数据的方差为 A.8 B.7 C.6 D.5设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，√√4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：√5.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是10，方差是4，则2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，2x6＋1的方差是 A.16 B.14 C.12 D.11由题意得数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，2x6＋1的平均数为√6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为________.3.27.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为，则xy＝________.由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，得x＋y＝20，96得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，故(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，解得xy＝96.1248.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________.由题意知，样本的平均数9.某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：求全班这次考试成绩的平均数和标准差.10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.11.(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据信息.甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为1，方差大于0；丁地：平均数为2，方差为3.则四地中，一定没有发生大规模群体感染的是A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地√√对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，所以甲地过去10天每天新增疑似病例不超过2＋5＝7(人)，故甲地符合要求.313.已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下表是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；乙地温度极差＝10－0＝10.显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、方差较小，说明乙地温度波动较小.因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋.14.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示.(2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析；①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定；②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好.③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步, 甲的较为稳定, 所以乙更有潜力.本课结束