第9章 统计 章末检测 2022-2023学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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第九章 统计  章末综合测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)

A.7   B.15   C.25   D.35

【答案】B

【解析】由题意设样本容量为n，则＝，解得n＝15.

2．有一个容量为66的样本， 数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5)　2　[15.5，19.5)　4　[19.5，23.5)　9

[23.5，27.5)　18　[27.5，31.5)　11　[31.5，35.5)　12

[35.5，39.5)　7　[39.5，43.5)　3

则总体中大于或等于31.5的数据约占(　　)

A.   B. C.   D.

【答案】B

【解析】由题意知样本的容量为66，而落在[31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝.

3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8

【答案】B

【解析】90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93，所以其平均数为，

因此方差为.故选B.

4．（2021·江苏如皋市高一月考）为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（    ）

A．8 B．9 C．8.5 D．9.5

【答案】C

【解析】由题意可得：，解得：，

将这组数据从小到大的顺序排列为，

因为为整数，

所以这组数据的75百分位数为.故选C.

5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A.64   B.54 C.48   D.27

【答案】B

【解析】前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.

因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.

所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B.

6．年是中国共产党成立周年，某学校团委在月日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的名学生的分数（满分分且每人的分值为整数）分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这名学生的分数说法错误的是（    ）

A．分数的中位数一定落在区间

B．分数的众数可能为

C．分数落在区间内的人数为

D．分数的平均数约为

【答案】B

【解析】A，由频率分布直方图可得

，解得，

前三组的概率为，

前四组的概率为，

所以分数的中位数一定落在第四组内，故A正确；

B，分数的众数可能为，故B错误；

C，分数落在区间内的人数约为，故C正确.

D，分数的平均数为：

，故D正确.故选B.

7．（2021·江西吉安一中 ）若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设的平均值为，方差为，

因为样本的平均值是5，方差是3，

所以，

因为样本的平均值是9，标准差是b，

所以，，

所以.故选D.

8．（2021·安徽芜湖一中高一月考）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是（    ）

A．29 mm B．29.5 mm

C．30 mm D．30.5 mm

【答案】A

【解析】棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，

在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，

因此，80百分位数一定位于[25，30)内，

由，

可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29 mm.故选A.

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2021·湖南临澧县第一中学高一期末）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（    ）

A．应采用分层随机抽样抽取

B．应采用抽签法抽取

C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

【答案】ACD

【解析】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，选项正确.

因为个体数目多，用抽取法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有好的代表性，故选项正确.

抽样比为 ，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项正确.

分层抽样种，每一个个体被抽到的可能性相同. 故选项正确.故选ACD.

10．（2021·江苏省天一中学高一期末）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（    ）

A．平均数为3 B．标准差为

C．众数为2和3 D．85%分位数为4.5

【答案】AC

【解析】平均数为，故A正确；

标准差为，故B错误；

观察数据可得众数为2和3，故C正确；

将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.

则，∴第85百分位数为5，故D错误.故选AC.

11．（2021·广东肇庆市高一期末）已知在一次射击预选赛中，甲､乙两人各射击次，两人成绩(所中环数越大，成绩越好)的频数分布表分别为：

下面判断正确的是（    ）

A．甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数

B．甲所中环数的中位数小于乙所中环数的中位数

C．甲所中环数的方差小于乙所中环数的方差

D．甲所中环数的方差大于乙所中环数的方差

【答案】AC

【解析】甲所中环数的平均数为

 乙所中环数的平均数为：

所以甲所中环数的平均数大于乙所中环数的平均数，选项正确；

甲所中环数的中位数为：，乙所中环数的中位数为：

所以甲所中环数的中位数大于乙所中环数的中位数，选项B错误；甲所中环数的方差为：，乙所中环数的方差为：

所以乙所中环数的方差大于甲所中环数的方差，选项正确；选项错误.故选AC.

12.（2021秋•江苏连云港市期中）已知数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，，，，其中，2，，，则　　

A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 

C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是

【答案】ABD

【解析】对于选项：因为，所以新数据的平均数为，故选项正确，

对于选项：因为，所以新数据的方差为，故选项正确，

对于选项：因为数据，，，的中位数为，所以新数据的中位数是，故选项错误，

对于选项：设数据，，，中最大，最小（其中，，，，则，所以新数据的极差是，故选项正确.故选.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.（2022·广西玉林市高一期中）假设要考察某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______．

（下面摘取了随机数表第7行到第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

【答案】068.

【解析】根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455、068.

14．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为________.

【答案】　

【解析】　由题意，得×(1＋2＋m＋6＋7)＝4，解得m＝4，所以这组数的方差为

s2＝[(1－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(6－4)2＋(7－4)2]＝

15.为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．

【答案】48

【解析】由频率分布直方图的性质，得，

解得，

第2小组的频率为，又已知第2小组的频数为12，

报考飞行员的学生人数是：.

16.（2022·河南南阳市宛城区高一月考）已知一组数据，，，，的平均数为，方差为若，，，，的平均数比方差大4，则的最大值为 　　．

【答案】-1

【解析】设新数据，，，，的平均数为，方差为，

一组数据，，，，的平均数为，方差为，

，，

，，，，的平均数比方差大4，

，，

，

又，，故当时，取得最大值，最大值为．

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(10分)某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：

用户用水量频数直方图         用户用水量扇形统计图

（1）此次抽样调查的样本容量是________；

（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．

【解析】（1）；

（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，

“15～20吨”部分的圆心角的度数为

（3）(万户)

所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．

18．(12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：)的分组及各组的频数如下：

，4；       ，8；      ，15；  

，22；         ，25；    ，14；

，6；         ，4；     ，2．

（1）列出样本的频率分布表；

（2）画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；

（3）当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？

【解析】（1）频率分布表如下：

（2）频率分布直方图如图：

众数为

月用水量在的频率为：，

中位数为

平均数为，

（3）人均月用水量在以上的居民所占的比例为

即大约有的居民月用水量在以上，的居民月用水量在以下

因此政府的解释是正确的.

19．(12分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；

女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.

(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和标准差；

(2)分别计算男、女生得分的四分位数.

【解析】(1)男生的平均得分为甲＝(35＋38＋44＋…＋94)≈61.

男生的方差是s＝[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25，

∴s甲≈16.

女生的平均得分是

乙＝(51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71.

女生的方差是s＝[(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11，

∴s乙≈13.

(2)男生的数据从小到大的排序为：

35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.

女生的数据从小到大排序为：

51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.

所以男、女生的四分位数分别为：

20．(12分)某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校120名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．已知2b=a+c，分值在[90，100]的人数为12．

(1)求图中a，b，c的值；

(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．

【解析】（1）因为分值在[90，100]的人数为12，

所以[90，100]的频率为，所以．

因为，

又，

所以，

解得，．

(2)这组数据的平均数为，

这组数据的中位数m满足，

解得，

所以该学校老师思想道德良好．

21．（12分）某校有高中生2000人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：

方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．

方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．

（1）根据图表信息，求，并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

（2）计算方案二中总样本的均值及方差；

（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？

【解析】（1）因为身高在区间，的频率为，频数4，

所以，

故，

，

，

所以身高在区间，的频率为，在区间，的频率为，

由此可补充完整频率分布直方图：

由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：

；

（2）把男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；

把女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，

则总样本均值，

又因为，

所以，

同理可得，

所以总样本方差

；

（3）两种方案总样本均值的差为．

用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，

原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差．

22.(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).

(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？

(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2.

表1

表2

①先确定x，y，再补全频率分布直方图(如图).就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

A类工人生产能力的频率分布直方图

B类工人生产能力的频率分布直方图

【解析】(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名.

(2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5.

由6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.

频率分布直方图如图：

A类工人生产能力的频率分布直方图

B类工人生产能力的频率分布直方图

 从图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小.

②A＝×105＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，

B＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，

＝×123＋×133.8＝131.1.

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.