初中13.4课题学习 最短路径问题第4课时综合训练题

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最短路径基本原理：
①两点之间，线段 最短 。
②点到直线的距离 最短 。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。
基本类型：
类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小。
方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。
证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的 垂直平分线
∴MP ＝ MP’
∴MP＋MQ＝ MP’ ＋MQ＝ P’ Q 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 P’ Q 的长度
1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最短路径作图即可得出答案．
【解答】解：有最短路径作图可知B答案符合题意
故选B
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A′B，A′D，则A′D的长度就是AP+DP的最小值，AP＝A′P，AB＝A′B，由已知求得∠A＝60°，得到△AA'B为等边三角形，则A′D＝BC＝16．
【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接A′D，
则A′D的长度就是AP+DP的最小值，
连接A′B，
∵BC⊥AA′，AC＝A′C
∴AB＝A′B，AP＝A′P，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝60°，
∴△AA'B为等边三角形，
∴A′D＝BC＝16，
∴AP+DP＝A'P+PD＝A′D＝16，
∴AP+DP的最小值是16，
故答案为：16．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（ ）
A．10B．11C．11.5D．13
【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6+4＝10．
故选：A．
5．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为 cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝BC＝×6＝3cm，
故答案为：3．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15B．17C．18D．20
【分析】根据点A与点C关于DE对称，即可得出PC＝PA，当点P与点E重合时，PC+PB＝PA+PB＝AB，此时△PBC的周长最小，根据AB与BC的长即可得到△PBC周长的最小值．
【解答】解：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC，
∴ED垂直平分AC，
∴点A与点C关于DE对称，
∴PC＝PA，
如图所示，当点P与点E重合时，PC+PB＝PA+PB＝AB，
此时△PBC的周长最小，
∵AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，
∴AB＝13，
∴△PBC周长的最小值为AB+BC＝13+5＝18，故选：C．
类型二：如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。
解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。
证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 垂直平分线 ，PP’’是ON的 垂直平分线 。
∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’
∴＝ AP’ ＋AB＋ BP’’ ＝ P’ P’’
∴△PAB的周长最小。
7．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
8．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
【分析】分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，根据两点之间线段最短得到所走路程最短．
【解答】解：如图所示：
9．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）
A．40°B．100°C．140°D．50°
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．
故选：B．
10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结果．
【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN＝8，
∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：A．
11．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到MP＝MP1，NP＝NP2，于是△PMN周长可转化为P1P2的长．
【解答】解：∵P与P1关于OA对称，
∴OA为PP1的垂直平分线，
∴MP＝MP1，
P与P2关于OB对称，
∴OB为PP2的垂直平分线，
∴NP＝NP2，
于是△PMN周长为MN+MP+NP＝MN+MP1+NP2＝P1P2＝6．
故选：C．
12．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠110°＝70°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．
故答案为：140°．
类型三：如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。
方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。
解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。
证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。
∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。
＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC ＝PQ＋ DC 。
∴四边形PQMN的周长最小。
13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短．
【分析】将MP+PQ+QN通过轴对称转化为几条“直线段”的和即可．
【解答】解：如图：
作点M关于OA的对称点M′，作点N关于OB的对称点N′，
连接M′N′交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．
14．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．
【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点A'，B'，连接A'B'，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．
【解答】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．
因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A'，B'，
连接A'B'，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．