初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程第3课时同步练习题

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知识点一：分式方程的概念：
分母中含有 的方程叫做分式方程。
【类型一：判断分式方程】
1．已知方程：
①，②＝1，③，④（x+）（x﹣6）＝﹣1．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1．
2．关于x的方程：①＝6；②；③；④；⑤＝4；⑥．分式方程有 （填序号）．
知识点一：解分式方程：
基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方
程再进行求解。
基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方
程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
例题1：解方程
解：原方程可化为：
方程左右两边分别乘得：

解得：
检验：当时，
所以是原分式方程的解。
例题2：解方程
解：原方程可化为：
方程左右两边分别乘以得：
解得：
检验：当时，
所以是原方程的曾根，原分式方程无解。
【类型一：解分式方程】
3．解方程：
（1）； （2）．
4．解分式方程
（1）； （2）．
5．解方程：
（1）； （2）．
【类型二：分式方程的曾根或无解】
6．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
7．已知关于x的分式方程有增根，实数m的值为（ ）
A．﹣4B．﹣10C．±1D．﹣4或﹣10
8．若关于x的方程没有增根，则k的值不能是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
9．若关于x的方程有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．已知方程有增根x＝1，求k的值．
11．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
12．已知关于x的分式方程
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【类型三：分式方程的特殊解】
13．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠﹣4D．a＞2且a≠4
14．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣2
15．关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为（ ）
A．a≤4B．a≤2且a≠1C．a≤4且a≠3D．a≥﹣2且a≠0
16．若关于x的分式方程的解为非正数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣B．a＜
C．a≥且a≠6D．a≤﹣且a≠﹣6
17．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．B．且k≠﹣1
C．且k≠0D．
18．若整数a使关于x的不等式组至少有6个整数解，且使关于x的方程有非负整数解，那么所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．﹣4
19．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．15B．12C．11D．10
20．关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．8B．5C．3D．2
21．若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的值有（ ）个．
A．4B．5C．6D．7
知识点一：列分式方程解应用题：
列分式方程解应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
【类型一：由实际问题抽象出分式方程】
22．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
24．八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
26．我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【类型二：分式方程的实际应用】
27．某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．
（1）求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？
（2）该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
28．某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？
29．每到春末夏初时节，哈尔滨街头就会出现各种共享单车，共享单车解决了市民出行的“最后一公里”的难题，极大方便广大市民．“橙风单车”公司已投放A级、B级两种单车，每辆B级车成本比每辆A级车成本少20%，公司投入150万元的B级车的数量比同样投入150万元的A级车的数量多750辆．
（1）求每辆A级车、B级车的成本分别是多少元？
（2）2022年“橙风单车”公司继续投放共享单车，但随着原材料的上涨，A、B两种单车的成本都随之上涨20%，同时政府为了鼓励单车的投放，每辆A、B级单车分别给予50元、40元的补贴，公司计划今年投放B级车数量是A级车数量的1.5倍，总投入不超过484万元，求投放A级车最多多少辆？
30．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．在某百货店用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍．
（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
31．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元