三角函数培优备课课件第四章　§4.9　解三角形中的最值与范围问题

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第四章§4.9　解三角形中的最值与范围问题解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.重点解读题型一　利用基本不等式求最值(范围)所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，所以cos(A＋B)＝sin B，由(1)得cos(A＋B)＝sin B，求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.跟踪训练1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.(1)求A；由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A. ②(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.由正弦定理及(1)得题型二　转化为三角函数求最值(范围)(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围.因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，因为△ABC为锐角三角形，三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.(1)若BC边上的高等于1，求cos A；所以sin B＝cos B，则tan B＝1，(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.又因为△ABC为锐角三角形，题型三　转化为其他函数求最值(范围)所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B，所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B，所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B，所以tan B＝tan C，由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c，由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1，因为A＝π－B－C＝π－2C，因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B，由(1)知，c2＝b2＋ab，代入化简可得b0，又△ABC为锐角三角形，12345678910∴A＝C－A，解得C＝2A，1234567891012345678910设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图.在△ACD中，由余弦定理得123456789101234567891012345678910四、解答题(1)求B；12345678910由正弦定理可得又A∈(0，π)，所以sin A≠0，1234567891012345678910(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围.123456789101234567891012345678910在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________，(1)求角B的大小；12345678910若选①，12345678910若选②，由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C.由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，12345678910若选③，因为0